Sinusfunktion
In diesem Kapitel schauen wir uns die Sinusfunktion etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Trigonometrische Funktionen
- Sinus
Bestandteile
Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
Funktionsgleichung
Eine Funktion $f$
mit der Funktionsgleichung
$$ y = \sin(x) $$
heißt Sinusfunktion.
Wegen $y = f(x)$
können wir statt $y = \sin(x)$
auch $f(x) = \sin(x)$
schreiben.
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$
ist die Menge aller $x$
-Werte, die in die Funktion $f$
eingesetzt werden dürfen.
In die Sinusfunktion dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$
Wertemenge
Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$
ist die Menge aller $y$
-Werte, die die Funktion $f$
unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$
annehmen kann.
Die Sinusfunktion kann alle reellen Zahlen im Intervall von $-1$
bis $1$
(jeweils eingeschlossen) annehmen:
$$ \mathbb{W}_f = [1; 1] $$
Graph
Der Graph der Sinusfunktion heißt Sinuskurve.
Um die Sinusfunktion sauber zu zeichnen, legen wir zunächst eine Wertetabelle an:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ\\ & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\ \hline \sin(x) & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array} $$
Die obige Tabelle zeigt, dass es rechnerisch keinen Unterschied macht, ob die Argumente ($x$
-Werte) der Funktion im Gradmaß oder im Bogenmaß vorliegen. Zur Darstellung von trigonometrischen Funktionen in einem Koordinatensystem ist es allerdings üblich, das Bogenmaß zu verwenden.
Zur Erinnerung: $360^\circ$
(Gradmaß) entsprechen $2\pi$
(Bogenmaß).
Zum Zeichnen sind insbesondere folgende Punkte von Bedeutung:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x & 0^\circ & 90^\circ & 180^\circ & 270^\circ & 360^\circ\\ & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{2}} & {\color{gray}2\pi} \\ \hline \sin(x) & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \end{array} $$
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
$$ y = \sin(x) $$
Eigenschaften
Die Sinusfunktion besitzt einige interessante Eigenschaften, die wir im Folgenden betrachten:
Definitionsmenge
$$ \mathbb{D} = \mathbb{R} $$
Wertemenge
$$ \mathbb{W} = [-1;1] $$
Periode
$$ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) $$
Die Sinusfunktion ist periodisch, d. h. ihre Funktionswerte wiederholen sich in regelmäßigen Abständen ($2\pi$
).
Symmetrie
$$ \sin(-x) = -\sin(x) $$
Punktssymmetrie zum Koordinatenursprung
Nullstellen
$$ x_k = k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z} $$
Beispiele
$$ \begin{align*} x_{-1} &= (-1) \cdot \pi = -\pi \\[5px] x_{0} &= 0 \cdot \pi = 0 \\[5px] x_{1} &= 1 \cdot \pi = \pi \\[5px] x_{2} &= 2 \cdot \pi = 2\pi \end{align*} $$
Relative Maxima
$$ x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z} $$
Beispiele
$$ \begin{align*} x_{-1} &= \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \\[5px] x_{0} &= \frac{\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2} \\[5px] x_{1} &= \frac{\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = \frac{5\pi}{2} \end{align*} $$
Relative Minima
$$ x_k = \frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z} $$
Beispiele
$$ \begin{align*} x_{-1} &= \frac{3\pi}{2} + (-1) \cdot 2\pi = -\frac{\pi}{2} \\[5px] x_{0} &= \frac{3\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = \frac{3\pi}{2} \\[5px] x_{1} &= \frac{3\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = \frac{7\pi}{2} \end{align*} $$
Zusammenhang mit Kosinuskurve
Die Sinuskurve geht aus der Kosinuskurve durch Verabschiebung um $\frac{\pi}{2}$
nach rechts hervor. Mathematisch bedeutet das:
$$ \sin(x) = \cos(x - \tfrac{\pi}{2}) $$
Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften
Funktionsgleichung | $y = \sin(x)$ |
Definitionsmenge | $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ |
Wertemenge | $\mathbb{W} = [-1;1]$ |
Periode | $2\pi$ |
Symmetrie | Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung |
Nullstellen | $x_k = k \cdot \pi$ $k \in \mathbb{Z}$ |
Relative Maxima | $x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi$ |
Relative Minima | $x_k = \frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi$ |
Die Sinuskurve geht aus der Kosinuskurve durch Verabschiebung um $\frac{\pi}{2}$
nach rechts hervor.