Definitionsmenge
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Definitionsmenge (der Definitionsbereich) einer Funktion ist. Die Berechnung der Definitionsmenge besprechen wir im Kapitel Definitionsbereich bestimmen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
Einordnung
Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element $x$ der Definitionsmenge $D$
genau ein Element $y$ der Wertemenge $W$
zugeordnet ist.
Aus der Definition einer Funktion folgt, dass eine Funktion aus drei Teilen besteht:
Funktionsgleichung
Definitionsmenge
Wertemenge
Beispiel einer Funktion
$$ y = 2x, \quad D = \{1, 2, 3, 4\}, \quad W = \{2, 4, 6, 8\} $$
Erklärung
Bei $y = 2x$ handelt es sich um die Funktionsgleichung der Funktion. Sie gibt an, was man mit einem $x$-Wert machen muss, um den dazugehörigen $y$-Wert zu erhalten: In diesem Fall muss jeder $x$-Wert mit $2$ multipliziert werden.
Bei $D = \{1, 2, 3, 4\}$ handelt sich um die Definitionsmenge der Funktion. Sie gibt an, welche $x$-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen: In diesem Fall darf man die Zahlen $1$, $2$, $3$ und $4$ für $x$ einsetzen.
Bei $W = \{2, 4, 6, 8\}$ handelt es sich um die Wertemenge der Funktion. Sie gibt an, welche $y$-Werte die Funktion annehmen kann.
Zusammenhänge verstehen
Wenn wir nacheinander die Zahlen aus dem Definitionsbereich $D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}$ in die Funktionsgleichung $y = 2x$ einsetzen, lässt sich Folgendes beobachten:
Gilt $x ={\color{red}1}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}1} ={\color{maroon}2}$.
Gilt $x ={\color{red}2}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}2} ={\color{maroon}4}$.
Gilt $x ={\color{red}3}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}3} ={\color{maroon}6}$.
Gilt $x ={\color{red}4}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}4} ={\color{maroon}8}$.
Setzt man alle Werte aus dem Definitionsbereich $D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}$ in die Funktionsgleichung $y = 2x$ ein, erhält man die Wertemenge $W = \{{\color{maroon}2},{\color{maroon}4},{\color{maroon}6},{\color{maroon}8}\}$.
In der Abbildung ist der Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und der Wertemenge noch einmal graphisch dargestellt. Die Funktionsgleichung ist dabei das Bindeglied zwischen den beiden Mengen:
$$ \underbrace{\text{Definitionsmenge}}_{x\text{-Werte}} \underset{y~=~2x}{\longrightarrow} \underbrace{\text{Wertemenge}}_{y\text{-Werte}} $$
Meistens werden bei einer Funktion weder die Definitionsmenge noch die Wertemenge mit angegeben. Man kann dann davon ausgehen, dass die maximal mögliche Definitionsmenge (siehe Kapitel Definitionsbereich bestimmen) gemeint ist. Sobald die Definitionsmenge bestimmt ist, lässt sich die Wertemenge ganz leicht berechnen (siehe Kapitel Wertebereich bestimmen).
Schreibweisen
Die formale Bezeichnung für eine Definitionsmenge ist $D$ oder $\mathbb{D}$.
Die Definitionsmenge einer Funktion $f$ heißt $D_f$. Hat die Funktion einen anderen Namen als $f$ wie z. B. $g$ oder $h$, dann heißt die Definitionsmenge entsprechend $D_g$ oder $D_h$.
Es gibt zwei Möglichkeiten, die Definitionsmenge einer Funktion anzugeben:
Mengenschreibweise
$$ D = \mathbb{R} $$
Die Definitionsmenge ist die Menge der reellen Zahlen.
$$ D = \{x~|~-5 < x < 3\} $$
$D$ ist die Menge aller $x$ für die gilt: $x$ ist größer als $-5$ und kleiner als $3$.
Beim letzten Beispiel bietet sich auch die Intervallschreibweise an.
Intervallschreibweise
$$ D = [-2, 1] $$
Die Definitionsmenge ist die Menge aller Zahlen zwischen $-2$ und $1$.
Das Intervall enthält sowohl $-2$ als auch $1$.
$$ D = [4, 10[ $$
$D$ ist die Menge aller Zahlen zwischen $4$ und $10$.
Das Intervall enthält $4$, aber nicht $10$.
