Funktionsgleichung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Funktionsgleichung ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
Einordnung
Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element $x$ der Definitionsmenge $D$
genau ein Element $y$ der Wertemenge $W$
zugeordnet ist.
Aus der Definition einer Funktion folgt, dass eine Funktion aus drei Teilen besteht:
Funktionsgleichung
Definitionsmenge
Wertemenge
Beispiel einer Funktion
$$ y = 2x, \quad D = \{1, 2, 3, 4\}, \quad W = \{2, 4, 6, 8\} $$
Erklärung
Bei $y = 2x$ handelt es sich um die Funktionsgleichung der Funktion. Sie gibt an, was man mit einem $x$-Wert machen muss, um den dazugehörigen $y$-Wert zu erhalten: In diesem Fall muss jeder $x$-Wert mit $2$ multipliziert werden.
Bei $D = \{1, 2, 3, 4\}$ handelt sich um die Definitionsmenge der Funktion. Sie gibt an, welche $x$-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen: In diesem Fall darf man die Zahlen $1$, $2$, $3$ und $4$ für $x$ einsetzen.
Bei $W = \{2, 4, 6, 8\}$ handelt es sich um die Wertemenge der Funktion. Sie gibt an, welche $y$-Werte die Funktion annehmen kann.
Zusammenhänge verstehen
Wenn wir nacheinander die Zahlen aus dem Definitionsbereich $D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}$ in die Funktionsgleichung $y = 2x$ einsetzen, lässt sich Folgendes beobachten:
Gilt $x ={\color{red}1}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}1} ={\color{maroon}2}$.
Gilt $x ={\color{red}2}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}2} ={\color{maroon}4}$.
Gilt $x ={\color{red}3}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}3} ={\color{maroon}6}$.
Gilt $x ={\color{red}4}$, berechnet sich der zugehörige $y$-Wert zu: $y = 2 \cdot{\color{red}4} ={\color{maroon}8}$.
Setzt man alle Werte aus dem Definitionsbereich $D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}$ in die Funktionsgleichung $y = 2x$ ein, erhält man die Wertemenge $W = \{{\color{maroon}2},{\color{maroon}4},{\color{maroon}6},{\color{maroon}8}\}$.
In der Abbildung ist der Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und der Wertemenge noch einmal graphisch dargestellt. Die Funktionsgleichung ist dabei das Bindeglied zwischen den beiden Mengen:
$$ \underbrace{\text{Definitionsmenge}}_{x\text{-Werte}} \underset{y~=~2x}{\longrightarrow} \underbrace{\text{Wertemenge}}_{y\text{-Werte}} $$
Definition
Eine Funktionsgleichung ist eine mathematische Vorschrift, mit deren Hilfe sich der $y$-Wert aus einem gegebenen $x$-Wert berechnen lässt.
Formale Schreibweise: $y = f(x)$
