Verknüpfung von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns die Verknüpfung von Funktionen an.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Was ist eine Funktion?

Einordnung

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Neben der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division gibt es für Funktionen eine weitere Verknüpfung namens Verkettung.

Verknüpfung von Funktionen

Summe ( $f + g$ )
Differenz ( $f - g$ )
Produkt ( $f \cdot g$ )
Quotient ( $\frac{f}{g}$ )
Verkettung ( $f \circ g$ )

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

Beispiele

Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Funktionenverknüpfung ein einfaches Beispiel an. Dabei ist es von Vorteil, wenn du dich bereits in der Mengenlehre auskennst: Dadurch kannst du insbesondere die Berechnung der Definitionsmengen der neuen Funktionen besser nachvollziehen.

Summe von Funktionen

Hauptkapitel: Summe von Funktionen

Beispiel 1

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit
$f(x) = 2x + 1$ ( $\mathbb{D_f} = \mathbb{R}$ ) und
$g(x) = 3x^2 - 2$ ( $\mathbb{D_g} = \mathbb{R}$ ).

Berechne die Summe der Funktionen und gib die Definitionsmenge der Summenfunktion an.

Sei $h$ die Summe aus $f$ und $g$ , so gilt:

$$ \begin{align*} h(x) &= f(x) + g(x) \\[5px] &= (2x + 1) + (3x^2 - 2) \\[5px] &= 2x + 1 + 3x^2 - 2 \\[5px] &= 3x^2 + 2x - 2 + 1 \\[5px] &= 3x^2 + 2x - 1 \end{align*} $$

Für die Definitionsmenge der Summenfunktion $h$ gilt:

$$ \begin{align*} \mathbb{D}_h &= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \\[5px] &= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \\[5px] &= \mathbb{R} \end{align*} $$

Abb. 1

Differenz von Funktionen

Hauptkapitel: Differenz von Funktionen

Beispiel 2

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit
$f(x) = 2x + 1$ ( $\mathbb{D_f} = \mathbb{R}$ ) und
$g(x) = 3x^2 - 2$ ( $\mathbb{D_g} = \mathbb{R}$ ).

Berechne die Differenz der Funktionen und gib die Definitionsmenge der Differenzfunktion an.

Sei $h$ die Differenz aus $f$ und $g$ , so gilt:

$$ \begin{align*} h(x) &= f(x) - g(x) \\[5px] &= (2x + 1) - (3x^2 - 2) \\[5px] &= 2x + 1 - 3x^2 + 2 \\[5px] &= -3x^2 + 2x + 2 + 1 \\[5px] &= -3x^2 + 2x + 3 \end{align*} $$

Für Definitionsmenge der Differenzfunktion $h$ gilt:

$$ \begin{align*} \mathbb{D}_h &= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \\[5px] &= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \\[5px] &= \mathbb{R} \end{align*} $$

Abb. 2

Produkt von Funktionen

Hauptkapitel: Produkt von Funktionen

Beispiel 3

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit
$f(x) = 2x + 1$ ( $\mathbb{D_f} = \mathbb{R}$ ) und
$g(x) = 3x^2 - 2$ ( $\mathbb{D_g} = \mathbb{R}$ ).

Berechne das Produkt der Funktionen und gib die Definitionsmenge der Produktfunktion an.

Sei $h$ das Produkt aus $f$ und $g$ , so gilt:

$$ \begin{align*} h(x) &= f(x) \cdot g(x) \\[5px] &= (2x + 1) \cdot (3x^2 - 2) \\[5px] &= 6x^3 - 4x + 3x^2 - 2 \\[5px] &= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2 \end{align*} $$

Für Definitionsmenge der Produktfunktion $h$ gilt:

$$ \begin{align*} \mathbb{D}_h &= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \\[5px] &= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \\[5px] &= \mathbb{R} \end{align*} $$

Abb. 3

Quotient von Funktionen

Hauptkapitel: Quotient von Funktionen

Beispiel 4

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit
$f(x) = 2x + 1$ ( $\mathbb{D_f} = \mathbb{R}$ ) und
$g(x) = 3x^2 - 2$ ( $\mathbb{D_g} = \mathbb{R}$ ).

Berechne den Quotienten der Funktionen und gib die Definitionsmenge der Quotientenfunktion an.

Sei $h$ der Quotient aus $f$ und $g$ , so gilt:

$$ \begin{align*} h(x) &= \frac{f(x)}{g(x)} \\[5px] &= \frac{2x + 1}{3x^2 - 2} \end{align*} $$

Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion $h$ gilt:

$$ \mathbb{D}_h = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\} $$

$\mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}$ heißt übersetzt:
Die Definitionsmenge von $g$ ohne die Menge aller $x$ , für die gilt: $g(x)$ gleich Null.

Warum so kompliziert? Ganz einfach: Durch Null teilen ist nicht erlaubt! Deshalb müssen wir alle $x$ ausschließen, für die der Nenner des Bruchs, also in diesem Fall $g(x)$ gleich Null wird.

Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null?

$$ \begin{align*} &3x^2 - 2 = 0 &&{\color{gray}|\, -2} \\[5px] &3x^2 = 2 &&{\color{gray}|\, :3} \\[5px] &x^2 = \frac{2}{3} &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] &x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} \end{align*} $$

Für unser Beispiel gilt folglich:

$$ \begin{align*} \mathbb{D}_h &= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \left\{\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right\} \\[5px] &= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right\} \\[5px] &= \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right\} \end{align*} $$

Abb. 4

Verkettung von Funktionen

Hauptkapitel: Verkettung von Funktionen

Beispiel 5

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit
$f(x) = 2x + 1$ ( $\mathbb{D_f} = \mathbb{R}$ ) und
$g(x) = 3x^2 - 2$ ( $\mathbb{D_g} = \mathbb{R}$ ).

Berechne die Verkettung der Funktionen.

Die Verkettung aus $f$ und $g$ entspricht dem Einsetzen von $g$ in $f$ .

Sei $h$ die Verkettung aus $f$ und $g$ , so gilt:

$$ \begin{align*} h(x) &= f({\color{#E8960C}g(x)}) \\[5px] &= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1 \\[5px] &= 6x^2 - 4 + 1 \\[5px] &= 6x^2 - 3 \end{align*} $$

Abb. 5

Zusammenfassung


Summe von Funktionen	`$$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$$`
Differenz von Funktionen	`$$(f - g)(x) = f(x) - g(x)$$`
Produkt von Funktionen	`$$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$$`
Quotient von Funktionen	`$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$`
Verkettung von Funktionen	`$$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$`