Verkettung von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns die Verkettung von Funktionen an.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Was ist eine Funktion?
Verknüpfung von Funktionen

Einordnung

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Neben der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division gibt es für Funktionen eine weitere Verknüpfung namens Verkettung.

Verknüpfung von Funktionen

Summe ( $f + g$ )
Differenz ( $f - g$ )
Produkt ( $f \cdot g$ )
Quotient ( $\frac{f}{g}$ )
Verkettung ( $f \circ g$ )

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

Funktionen hintereinander ausführen

Es kommt häufig vor, dass zwei (oder mehr) Funktionen hintereinander ausgeführt werden.

Beispiel 1

Gegeben seien die Funktionen $f$ und $g$ :
$f(x) = 2x$ ( $x$ wird verdoppelt)
$g(x) = x^2$ ( $x$ wird quadriert)

Die Hinteinanderausführung der Funktionen führt zu folgenden beiden Fällen:

Fall 1

Quadriere $x$ . Verdopple anschließend das Ergebnis.

$$ x \mapsto x^2 \mapsto 2{\color{#E8960C}x^2} $$

Wir haben den Funktionsterm von $g$ in $f$ eingesetzt, also $f({\color{#E8960C}g(x)})$ gerechnet.

Fall 2

Verdopple $x$ . Quadriere anschließend das Ergebnis.

$$ x \mapsto 2x \mapsto ({\color{#E8960C}2x})^2 \quad(= 4x^2) $$

Wir haben den Funktionsterm von $f$ in $g$ eingesetzt, also $g({\color{#E8960C}f(x)})$ gerechnet.

Wir halten fest: Die Hintereinanderausführung von Funktionen bedeutet rechnerisch, den Funktionsterm der einen Funktion in den Funktionsterm der anderen Funktion einzusetzen.

Synonyme

In der Literatur finden sich verschiedene Begriffe mit der gleichen Bedeutung:

Hintereinanderausführung von Funktionen
Nacheinanderausführung von Funktionen
Komposition von Funktionen
Verkettung von Funktionen

Der in der Schulmathematik wohl am häufigsten verwendete Begriff ist Verkettung.

Definition

Die Verkettung zweier Funktionen $f$ und $g$ ist folgendermaßen definiert:

$$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $$

Schreibweise

Das mathematische Symbol für eine Verkettung ist das Verkettungszeichen $\circ$ .

Sprechweise

$f \circ g$ spricht man

$f$ nach $g$ (Komisch… $f$ steht doch vor $g$ ?!)
$f$ Kringel $g$
$f$ verkettet mit $g$
$f$ verknüpft mit $g$
$f$ komponiert mit $g$

$f(g(x))$ spricht man $f$ von $g$ von $x$ .

Äußere Funktion und innere Funktion

In $({\color{#E85A0C}f }\circ {\color{#E8960C}g})(x) = {\color{#E85A0C}f(}{\color{#E8960C}g(x)}{\color{#E85A0C})}$ heißt $f$ äußere Funktion und $g$ innere Funktion.

Bedeutung

$f \circ g$ erhalten wir durch Einsetzen von $g(x)$ in $f(x)$ , also $f(g(x))$ .

Um zu verstehen, was mit dem $x$ in $f(g(x))$ passiert, hilft folgende Vorstellung:

$g$ frisst $x$
Was $g$ ausspuckt, wird von $f$ gefressen

In $f(g(x))$ wird also von innen nach außen gerechnet.

Aha, deshalb sprechen wir $f \circ g$ als $f$ nach $g$ …weil $g$ zuerst ausgeführt wird!

Voraussetzung für eine sinnvolle Verkettung

Das, was $g$ ausspuckt, muss $f$ fressen dürfen.

Etwas mathematischer formuliert:

Die Wertemenge von $g$ muss in der Definitionsmenge von $f$ enthalten sein, d. h. $\mathbb{W_g} \subseteq \mathbb{D}_f$ .

Beispiele

Beispiel 2

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit
$f(x) = 2x + 1$ und
$g(x) = 3x^2 - 2$ .

Berechne $h = f \circ g$ .

$$ \begin{align*} h(x) &= f({\color{#E8960C}g(x)}) \\[5px] &= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1 \\[5px] &= 6x^2 - 4 + 1 \\[5px] &= 6x^2 - 3 \end{align*} $$

Abb. 1

Beispiel 3

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit
$f(x) = 2x + 1$ und
$g(x) = 3x^2 - 2$ .

Berechne $h = g \circ f$ .

$$ \begin{align*} h(x) &= g({\color{#E8960C}f(x)}) \\[5px] &= 3({\color{#E8960C}2x + 1})^2 - 2 \\[5px] &= 3(4x^2 + 4x + 1) - 2 \\[5px] &= 12x^2 + 12x + 3 - 2 \\[5px] &= 12x^2 + 12x + 1 \end{align*} $$

Abb. 2