Integration durch Substitution
In diesem Kapitel lernen wir die Integration durch Substitution (Substitutionsregel) kennen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Stammfunktion?
- Was ist ein unbestimmtes Integral?
- Integrationsregeln
Einordnung
abzuleiten, brauchen wir die Kettenregel:
Kettenregel
Was beim Ableiten die Kettenregel ist, ist beim Integrieren die Substitutionsregel:
Substitutionsregel
Dabei ist Phi
des griechischen Alphabets.
Anleitung
Substitution vorbereiten
Den zu substituierenden Term bestimmen
Gleichung aus Schritt 1 nach
Gleichung aus Schritt 2 ableiten
Integrationsvariable ersetzen
Substitution
Integration
Rücksubstitution
zu 1.1)
Wir müssen uns überlegen, welchen Teil der Funktion wir substituieren wollen.
Ziel ist es, das Integral auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.
zu 1.2)
In diesem Schritt berechnen wir
Wenn wir uns die Substitutionsregel
etwas genauer anschauen, können wir feststellen, dass gilt:
Um
zu 1.3)
In diesem Schritt berechnen wir
zu 1.4)
Wenn wir uns die Substitutionsregel
etwas genauer anschauen, können wir feststellen, dass gilt:
zu 2)
Der Begriff Substitution
kommt vom aus dem Lateinischen und bedeutet ersetzen
.
Was im 2. Schritt genau ersetzt wird, schauen wir uns anhand einiger Beispiele an.
Beispiele
Berechne
Substitution vorbereiten
Den zu substituierenden Term bestimmen
Wenn im Exponenten nur ein
Die Stammfunktion der e-Funktion ist die e-Funktion selbst.
Ganz so einfach ist das in unserem Beispiel aber nicht, denn der Exponent
Im 1. Schritt ersetzen wir den Exponenten
Gleichung aus Schritt 1 nach
Gleichung aus Schritt 2 ableiten
Integrationsvariable ersetzen
Substitution
mit
ergibt
Durch Einführung einer neuen Integrationsvariable konnten wir einen Teil des Integranden ersetzen und auf diese Weise das Integral vereinfachen. Jetzt haben wir es mit einem einfacher handhabbarem Integral zu tun, das wir im nächsten Schritt integrieren.
Integration
Rücksubstitution
in
ergibt
Berechne
Substitution vorbereiten
Den zu substituierenden Term bestimmen
Die Wurzel
Im 1. Schritt ersetzen wir deshalb die Wurzel durch die Variable
Gleichung aus Schritt 1 nach
Gleichung aus Schritt 2 ableiten
Integrationsvariable ersetzen
Substitution
mit
ergibt
Zusammenrechnen
Durch Einführung einer neuen Integrationsvariable konnten wir einen Teil des Integranden ersetzen und auf diese Weise das Integral vereinfachen. Jetzt haben wir es mit einem einfacher handhabbarem Integral zu tun, das wir im nächsten Schritt integrieren.
Integration
Rücksubstitution
in
ergibt
Auf eine weitere Vereinfachung des Terms wird an dieser Stelle verzichtet.
