Bestimmtes Integral
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was bestimmte Integrale sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Stammfunktion?
- Was ist ein unbestimmtes Integral?
Einordnung
Wenn wir die Schreibweise eines unbestimmten Integrals
$$ \int \! f(x) \, \textrm{d}x = F(x) + C $$
mit der Schreibweise eines bestimmten Integrals
$$ \int_a^b \! f(x) \, \textrm{d}x = [F(x) + C]_a^b $$
vergleichen, stellen wir fest, dass bei einem bestimmten Integral die Integrationsgrenzen angegeben, also bestimmt sind.
Dabei ist $a$ die untere und $b$ die obere Integrationsgrenze.
Anleitung
Im Gegensatz zu unbestimmten Integralen können wir bestimmte Integrale berechnen:
$$ \int_{\color{blue}a}^{\color{red}b} \! f(x) \, \textrm{d}x = [F(x) + C]_{\color{blue}a}^{\color{red}b} = F({\color{red}b}) - F({\color{blue}a}) $$
Um bestimmte Integrale zu berechnen, gehen wir also so vor:
Stammfunktion berechnen
$\boldsymbol{F(b) - F(a)}$ berechnen
Beispiele
Berechne $\int_{1}^{3} \! 2x \, \textrm{d}x$.
Stammfunktion berechnen
Wir berechnen die Stammfunktion mithilfe der Potenzregel:
$$ \int_{\color{blue}1}^{\color{red}3} \! 2x \, \textrm{d}x = \left[x^2\right]_{\color{blue}1}^{\color{red}3} $$
$\boldsymbol{F(b) - F(a)}$ berechnen
Wir berechnen den Funktionswert der Stammfunktion an der Stelle $x = {\color{red}3}$ (obere Integrationsgrenze) und ziehen davon den Funktionswert der Stammfunktion an der Stelle $x = {\color{blue}1}$ (untere Integrationsgrenze) ab:
$$ \begin{align*} \phantom{\int_{\color{blue}1}^{\color{red}3} \! 2x \, \textrm{d}x} &= {\color{red}3}^2 - {\color{blue}1}^2 \\ &= 9 - 1 \\[5px] &= 8 \end{align*} $$
Berechne $\int_{-3}^{0} \! x^2 \, \textrm{d}x$.
Stammfunktion berechnen
Wir berechnen die Stammfunktion mithilfe der Potenzregel:
$$ \int_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} \! x^2 \, \textrm{d}x = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} $$
$\boldsymbol{F(b) - F(a)}$ berechnen
Wir berechnen den Funktionswert der Stammfunktion an der Stelle $x = {\color{red}0}$ (obere Integrationsgrenze) und ziehen davon den Funktionswert der Stammfunktion an der Stelle $x = {\color{blue}-3}$ (untere Integrationsgrenze) ab:
$$ \begin{align*} \phantom{\int_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} \! x^2 \, \textrm{d}x} &= \frac{1}{3} \cdot {\color{red}0}^3 - \frac{1}{3}({\color{blue}-3})^3 \\ &= 0 - \frac{1}{3} \cdot (-27) \\[5px] &= 9 \end{align*} $$
Bedeutung
Die in den obigen Beispielen berechneten Ergebnisse haben eine geometrische Bedeutung:
Bildet man das bestimmte Integral einer reellen Funktion in einer Variablen, so lässt sich das Ergebnis im zweidimensionalen Koordinatensystem als Flächeninhalt der Fläche, die zwischen dem Graphen der Funktion, der $x$-Achse sowie den begrenzenden Parallelen zur $y$-Achse liegt, deuten.
Die begrenzenden Parallelen
entsprechen den Integrationsgrenzen.
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zur Flächenberechnung mit Integralen.
Eigenschaften
Gleiche untere und obere Integrationsgrenzen
$$ \int_a^a \! f(x) \, \textrm{d}x = 0 $$
Vertauschung der Integrationsgrenzen
$$ \int_a^b \! f(x) \, \textrm{d}x = -\int_b^a \! f(x) \, \textrm{d}x $$
Faktorregel
$$ \int_a^b \! k \cdot f(x) \, \textrm{d}x = k \cdot \int_a^b \! f(x) \, \textrm{d}x $$
Summenregel
$$ \int_a^b \! f(x) \, \textrm{d}x + \int_a^b \! g(x) \, \textrm{d}x = \int_a^b \! (f(x)+g(x)) \, \textrm{d}x $$
Zusammenfassen von Integrationsintervallen
$$ \int_a^b \! f(x) \, \textrm{d}x + \int_b^c \! f(x) \, \textrm{d}x = \int_a^c \! f(x) \, \textrm{d}x $$
