Flächenberechnung mit Integralen
In diesem Kapitel schauen wir uns die Flächenberechnung mit Integralen an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Stammfunktion?
- Was ist ein unbestimmtes Integral?
- Was ist ein bestimmtes Integral?
Einordnung
Im vorherigen Kapitel haben wir die Formel für die Berechnung bestimmter Integrale kennengelernt…
$$ \int_{\color{blue}a}^{\color{red}b} \! f(x) \, \textrm{d}x = [F(x) + C]_{\color{blue}a}^{\color{red}b} = F({\color{red}b}) - F({\color{blue}a}) $$
…und uns folgende Beispiele angeschaut:
$$ \int_{\color{blue}1}^{\color{red}3} \! 2x \, \textrm{d}x = \left[x^2\right]_{\color{blue}1}^{\color{red}3} = {\color{red}3}^2 - {\color{blue}1}^2 = 8 $$
$$ \int_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} \! x^2 \, \textrm{d}x = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} = \frac{1}{3} \cdot {\color{red}0}^3 - \frac{1}{3}({\color{blue}-3})^3 = 9 $$
Außerdem haben wir erfahren, dass die obigen Ergebnisse eine geometrische Bedeutung haben:
Bildet man das bestimmte Integral einer reellen Funktion in einer Variablen, so lässt sich das Ergebnis im zweidimensionalen Koordinatensystem als Flächeninhalt der Fläche, die zwischen dem Graphen der Funktion, der $x$-Achse sowie den begrenzenden Parallelen zur $y$-Achse liegt, deuten.
Die begrenzenden Parallelen
entsprechen den Integrationsgrenzen.
An diese Kenntnisse wollen wir jetzt anknüpfen und uns einige Beispiele graphisch anschauen.
Beispiele
Ohne Vorzeichenwechsel
$$ \int_1^3 \! 2x \, \textrm{d}x = \left[x^2\right]_1^3 = 3^2 - 1^2 ={\color{red}8} $$
In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = 2x$ eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei $1$, die obere Integrationsgrenze bei $3$.
Das bestimmte Integral
$$ \int_1^3 \! 2x \, \textrm{d}x ={\color{red}8} $$
entspricht der Fläche zwischen Graph und $x$-Achse im Intervall $[1;3]$.
$$ \int_{-2}^0 \! x^2 \, \textrm{d}x = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-2}^0 = \frac{1}{3}0^3 - \frac{1}{3}(-2)^3 ={\color{red}\frac{8}{3}} $$
In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei $-2$, die obere Integrationsgrenze bei $0$.
Das bestimmte Integral
$$ \int_{-2}^0 \! x^2 \, \textrm{d}x ={\color{red}\frac{8}{3}} $$
entspricht der Fläche zwischen Graph und $x$-Achse im Intervall $[-2;0]$.
Mit Vorzeichenwechsel
Leider ist es nicht immer so einfach, die Fläche zwischen Graph und $x$-Achse mithilfe von Integralen zu berechnen. Das Integral ist nämlich nur eine Flächenbilanz, d. h. die Flächen heben sich auf
, wenn ein Teil des Graphen im betrachteten Intervall oberhalb und der andere Teil unterhalb der $x$-Achse liegt.
$$ \int_{-1{,}5}^{1{,}5} \! x^3 \, \textrm{d}x = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{-1{,}5}^{1{,}5} = \frac{1}{4}1{,}5^4 - \frac{1}{4}(-1{,}5)^4 = \frac{81}{64} - \frac{81}{64} = 0 $$
In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = x^3$ eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei $-1{,}5$, die obere Integrationsgrenze bei $1{,}5$.
Das bestimmte Integral
$$ \int_{-1{,}5}^{1{,}5} \! x^3 \, \textrm{d}x = 0 $$
entspricht nicht der Fläche zwischen Graph und $x$-Achse im Intervall $[-1{,}5;1{,}5]$.
Wir merken uns:
Der Wert des Integrals stimmt nur dann mit der tatsächlichen Fläche überein, wenn im gewählten Intervall der Graph entweder nur ober- oder nur unterhalb der $x$-Achse liegt.
Wie man die Fläche zwischen Graph und $x$-Achse in einem Intervall mit Vorzeichenwechsel berechnet, erfährst du im Kapitel Fläche zwischen Graph und $x$-Achse.
