Quotient von Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie der Quotient von Funktionen berechnet wird.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Verknüpfung von Funktionen
Einordnung
Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Neben der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division gibt es für Funktionen eine weitere Verknüpfung namens Verkettung
.
Verknüpfung von Funktionen
- Summe (
$f + g$) - Differenz (
$f - g$) - Produkt (
$f \cdot g$) - Quotient (
$\frac{f}{g}$) - Verkettung (
$f \circ g$)
Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.
Definition
Gegeben seien zwei Funktionen $f$ und $g$ mit ihren Definitionsmengen $\mathbb{D}_f$ und $\mathbb{D_g}$.
$$ \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \text{ mit } \mathbb{D}_{\frac{f}{g}} = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\} $$
Der Quotient zweier Funktionen $f$ und $g$ ist definiert als der Quotient ihrer Funktionsterme. Die Definitionsmenge der Quotientenfunktion $\mathbb{D}_{\frac{f}{g}}$ entspricht der Schnittmenge von $\mathbb{D}_f$ und $\mathbb{D_g}$ abzüglich aller $x$, für die $g(x)$ gleich Null wird, da eine Division durch Null nicht definiert ist.
Beispiele
Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit$f(x) = 2x + 1$ ($\mathbb{D_f} = \mathbb{R}$) und$g(x) = 3x^2 - 2$ ($\mathbb{D_g} = \mathbb{R}$).
Berechne $h = \frac{f}{g}$ und gib die Definitionsmenge der Quotientenfunktion an.
$$ \begin{align*} h(x) &= \frac{f(x)}{g(x)} \\[5px] &= \frac{2x + 1}{3x^2 - 2} \end{align*} $$
Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null?
$$ \begin{align*} &3x^2 - 2 = 0 &&{\color{gray}|\, +2} \\[5px] &3x^2 = 2 &&{\color{gray}|\, :3} \\[5px] &x^2 = \frac{2}{3} &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] &x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} \end{align*} $$
Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion $h$ gilt:
$$ \begin{align*} \mathbb{D}_h &= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \left\{\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right\} \\[5px] &= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right\} \\[5px] &= \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right\} \end{align*} $$
Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit$f(x) = 2x + 1$ ($\mathbb{D_f} = \mathbb{R}$) und$g(x) = 3x^2 - 2$ ($\mathbb{D_g} = \mathbb{R}$).
Berechne $h = \frac{g}{f}$ und gib die Definitionsmenge der Quotientenfunktion an.
$$ \begin{align*} h(x) &= \frac{g(x)}{f(x)} \\[5px] &= \frac{3x^2 - 2}{2x + 1} \end{align*} $$
Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null?
$$ \begin{align*} &2x + 1 = 0 &&{\color{gray}|\, -1} \\[5px] &2x = -1 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] &x = -0{,}5 \end{align*} $$
Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion $h$ gilt:
$$ \begin{align*} \mathbb{D}_h &= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{-0{,}5\} \\[5px] &= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\} \\[5px] &= \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\} \end{align*} $$
Anwendung
- In der Differentialrechnung beim Ableiten von Quotientenfunktionen
