Produkt von Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie das Produkt von Funktionen berechnet wird.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Verknüpfung von Funktionen
Einordnung
Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Neben der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division gibt es für Funktionen eine weitere Verknüpfung namens Verkettung
.
Verknüpfung von Funktionen
- Summe (
$f + g$) - Differenz (
$f - g$) - Produkt (
$f \cdot g$) - Quotient (
$\frac{f}{g}$) - Verkettung (
$f \circ g$)
Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.
Definition
Gegeben seien zwei Funktionen $f$ und $g$ mit ihren Definitionsmengen $\mathbb{D}_f$ und $\mathbb{D_g}$.
$$ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \text{ mit } \mathbb{D}_{f \cdot g} = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g $$
Das Produkt zweier Funktionen $f$ und $g$ ist definiert als das Produkt ihrer Funktionsterme. Die Definitionsmenge der Produktfunktion $\mathbb{D}_{f \cdot g}$ entspricht der Schnittmenge von $\mathbb{D}_f$ und $\mathbb{D_g}$.
Beispiele
Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit$f(x) = 2x + 1$ ($\mathbb{D_f} = \mathbb{R}$) und$g(x) = 3x^2 - 2$ ($\mathbb{D_g} = \mathbb{R}$).
Berechne $h = f \cdot g$ und gib die Definitionsmenge der Produktfunktion an.
$$ \begin{align*} h(x) &= f(x) \cdot g(x) \\[5px] &= (2x + 1) \cdot (3x^2 - 2) \\[5px] &= 6x^3 - 4x + 3x^2 - 2 \\[5px] &= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2 \end{align*} $$
Für Definitionsmenge der Produktfunktion $h$ gilt:
$$ \begin{align*} \mathbb{D}_h &= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \\[5px] &= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \\[5px] &= \mathbb{R} \end{align*} $$
Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit$f(x) = 2x + 1$ ($\mathbb{D_f} = \mathbb{R}$) und$g(x) = 3x^2 - 2$ ($\mathbb{D_g} = \mathbb{R}$).
Berechne $h = g \cdot f$ und gib die Definitionsmenge der Produktfunktion an.
$$ \begin{align*} h(x) &= g(x) \cdot f(x) \\[5px] &= (3x^2 - 2) \cdot (2x + 1) \\[5px] &= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2 \end{align*} $$
Für Definitionsmenge der Produktfunktion $h$ gilt:
$$ \begin{align*} \mathbb{D}_h &= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \\[5px] &= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \\[5px] &= \mathbb{R} \end{align*} $$
Rechengesetze
Bei der Multiplikation der Funktionen $f$, $g$ und $h$ gilt, dass sich das Ergebnis nicht ändert…
…wenn du die Faktoren vertauscht.
…wenn du Klammern vertauscht, setzt oder ganz weglässt.
Anwendungen
- In der Differentialrechnung beim Ableiten von Produktfunktionen
- In der Integralrechnung beim Integrieren von Produktfunktionen
