Transformation von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns die Transformation von Funktionen an.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Was ist eine Funktion?

Definition

Der Begriff Transformation kommt aus dem Lateinischen und bedeutet Umwandlung.

Eine Funktion $f$ zu transformieren, heißt, sie in eine neue Funktion $g$ umzuwandeln.

Arten

Die Transformation von Funktionen können wir aus zwei Blickwinkeln betrachten:

Der Funktionsterm verändert sich (Algebraischer Blickwinkel)
Der Funktionsgraph verändert sich (Geometrischer Blickwinkel)

Algebraische Transformationen

Die vier einfachsten Möglichkeiten, eine Funktion algebraisch zu transformieren, sind:


Argument $x$ mit einer Konstanten $c$ addieren	$g \colon x \mapsto f({\color{#E8960C}x} + c)$
Funktionswert $f(x)$ mit einer Konstanten $c$ addieren	$g \colon x \mapsto {\color{#E85A0C}f(x)} + c$
Argument $x$ mit einer Konstanten $c$ multiplizieren	$g \colon x \mapsto f(c \cdot {\color{#E8960C}x})$
Funktionswert $f(x)$ mit einer Konstanten $c$ multiplizieren	$g \colon x \mapsto c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)}$

Wir können also an zwei Stellschrauben drehen: Entweder wir verändern das Argument $x$ (das, was wir in die Funktion einsetzen) oder den Funktionswert $f(x)$ (das, was die Funktion ausgibt).

Geometrische Transformationen

Die drei einfachsten Möglichkeiten, eine Funktion geometrisch zu transformieren, sind:

Verschiebung des Graphen
Skalierung des Graphen
Spiegelung des Graphen

Im Folgenden untersuchen wir, wie die beiden Betrachtungsweisen zusammenhängen.

Beispiele

Verschiebung von Funktionen

Hauptkapitel: Verschiebung von Funktionen

Verschiebung in ${\color{#E8960C}\boldsymbol{x}}$ -Richtung ( $\boldsymbol{\leftrightarrow}$ )

$$ \begin{equation*} f({\color{#E8960C}x} + c) = \begin{cases} \text{ Verschiebung nach rechts} &\text{für } c < 0 \\[5px] \text{ Verschiebung nach links} &\text{für } c > 0 \end{cases} \end{equation*} $$

Beispiel 1

Verschiebung um $2\ \textrm{LE}$ nach rechts

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= f({\color{#E8960C}x} - 2) \\[5px] &= (x - 2)^2 \end{align*} $$

Abb. 1

Beispiel 2

Verschiebung um $2\ \textrm{LE}$ nach links

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= f({\color{#E8960C}x} + 2) \\[5px] &= (x + 2)^2 \end{align*} $$

Abb. 2

Verschiebung in ${\color{#E85A0C}\boldsymbol{y}}$ -Richtung ( $\boldsymbol{\updownarrow}$ )

$$ \begin{equation*} {\color{#E85A0C}f(x)} + c = \begin{cases} \text{ Verschiebung nach oben} &\text{für } c > 0 \\[5px] \text{ Verschiebung nach unten} &\text{für } c < 0 \end{cases} \end{equation*} $$

Beispiel 3

Verschiebung um $2\ \textrm{LE}$ nach oben

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= {\color{#E85A0C}f(x)} + 2 \\[5px] &= x^2 + 2 \end{align*} $$

Abb. 3

Beispiel 4

Verschiebung um $2\ \textrm{LE}$ nach unten

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= {\color{#E85A0C}f(x)} - 2 \\[5px] &= x^2 - 2 \end{align*} $$

Abb. 4

Skalierung von Funktionen

Hauptkapitel: Skalierung von Funktionen

Skalierung in ${\color{#E8960C}\boldsymbol{x}}$ -Richtung ( $\boldsymbol{\leftrightarrow}$ )

$$ \begin{equation*} f(c \cdot {\color{#E8960C}x}) = \begin{cases} \text{ Streckung in $x$-Richtung} &\text{für } 0 < c < 1 \\[5px] \text{ Stauchung in $x$-Richtung} &\text{für } c > 1 \end{cases} \end{equation*} $$

Beispiel 5

Skalierung um den Faktor $\frac{1}{2}$ in $x$ -Richtung (Streckung)

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= f\left(\frac{1}{2}{\color{#E8960C}x}\right) \\[5px] &= \left(\frac{1}{2}x\right)^2 \\[5px] &= \frac{1}{4}x^2 \end{align*} $$

Abb. 5

Beispiel 6

Skalierung um den Faktor $2$ in $x$ -Richtung (Stauchung)

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= f(2{\color{#E8960C}x}) \\[5px] &= (2x)^2 \\[5px] &= 4x^2 \end{align*} $$

Abb. 6

Skalierung in ${\color{#E85A0C}\boldsymbol{y}}$ -Richtung ( $\boldsymbol{\updownarrow}$ )

$$ \begin{equation*} c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)} = \begin{cases} \text{ Streckung in $y$-Richtung} &\text{für } c > 1 \\[5px] \text{ Stauchung in $y$-Richtung} &\text{für } 0 < c < 1 \end{cases} \end{equation*} $$

Beispiel 7

Skalierung um den Faktor $2$ in $y$ -Richtung (Streckung)

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= 2 \cdot {\color{#E85A0C}f(x)} \\[5px] &= 2x^2 \end{align*} $$

Abb. 7

Beispiel 8

Skalierung um den Faktor $\frac{1}{2}$ in $y$ -Richtung (Stauchung)

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= \frac{1}{2} \cdot {\color{#E85A0C}f(x)} \\[5px] &= \frac{1}{2}x^2 \end{align*} $$

Abb. 8

Spiegelung von Funktionen

Hauptkapitel: Spiegelung von Funktionen

Spiegelung an der $\boldsymbol{y}$ -Achse ( $\boldsymbol{\leftrightarrow}$ )

$$ f(-x) $$

Beispiel 9

Spiegelung an der $y$ -Achse

$$ f(x) = (x+2)^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= f(-x) \\[5px] &= (-x+2)^2 \\[5px] &= [(-1)(x-2)]^2 \\[5px] &= (-1)^2(x-2)^2 \\[5px] &= (x-2)^2 \end{align*} $$

Abb. 9

Spiegelung an der $\boldsymbol{x}$ -Achse ( $\boldsymbol{\updownarrow}$ )

$$ -f(x) $$

Beispiel 10

Spiegelung an der $x$ -Achse

$$ f(x) = (x+2)^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= -f(x) \\[5px] &= -(x+2)^2 \end{align*} $$

Abb. 10

Spiegelung am Koordinatenursprung $\boldsymbol{O(0|0)}$

$$ -f(-x) $$

Beispiel 11

Spiegelung am Koordinatenursprung $O(0|0)$

$$ f(x) = (x+2)^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= -f(-x) \\[5px] &= -(-x+2)^2 \\[5px] &= -(x-2)^2 \end{align*} $$

Abb. 11

Zusammenfassung


Verschiebung von Funktionen	Addition einer Konstanten	( $c \in \mathbb{R}$ )
…in ${\color{#E8960C}x}$ -Richtung ( $\leftrightarrow$ )	$f({\color{#E8960C}x} + c)$
…in ${\color{#E85A0C}y}$ -Richtung ( $\updownarrow$ )	${\color{#E85A0C}f(x)} + c$
Skalierung von Funktionen	Multiplikation einer Konstanten	( $c > 0$ )
…in ${\color{#E8960C}x}$ -Richtung ( $\leftrightarrow$ )	$f(c \cdot {\color{#E8960C}x})$
…in ${\color{#E85A0C}y}$ -Richtung ( $\updownarrow$ )	$c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)}$
Spiegelung von Funktionen	Multiplikation mit $-1$	( $c = -1$ )
…an der $y$ -Achse ( $\leftrightarrow$ )	$f(-x)$
…an der $x$ -Achse ( $\updownarrow$ )	$-f(x)$
…am Koordinatenursprung $O(0\|0)$	$-f(-x)$

Merkhilfe

Eine Veränderung des Arguments ${\color{#E8960C}x}$ führt zu einer Veränderung des Graphen in ${\color{#E8960C}x}$ -Richtung
Eine Veränderung des Funktionswerts ${\color{#E85A0C}f(x)}$ führt zu einer Veränderung des Graphen in ${\color{#E85A0C}y}$ -Richtung ( $y = f(x)$ )

Mehrfach transformierte Funktionen

Transformationen lassen sich beliebig zusammensetzen.

Beispiel 12

Eine Multiplikation mit $-2$ entspricht wegen $-2 = -1 \cdot 2$ einer Spiegelung mit anschließender Skalierung.

Allgemein gilt:

$g \colon x \mapsto a \cdot f(b(x + c)) + d$ mit $a, b, c ,d \in \mathbb{R}$