Funktionen zeichnen
In diesem Kapitel lernen wir, wie man Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
Anleitung
Punkte berechnen
Wertetabelle anlegen
$y$-Werte berechnen
Punkte einzeichnen
Punkte verbinden
Beispiele
Lineare Funktion
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x) = 0{,}5x - 2$.
Punkte berechnen
Wertetabelle anlegen
In der 1. Zeile der Wertetabelle stehen beliebige $x$-Werte. Bei linearen Funktionen verwendet man meist Werte im Intervall von $-3$ bis $3$ oder $-5$ bis $5$ im Abstand von einer Längeneinheit.
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y\text{-Werte} & & & & & & & \\ \end{array} $$
In der 2. Zeile stehen später die $y$-Werte zu den eben ausgesuchten $x$-Werten. Diese Zeile bleibt aber zunächst leer, da wir diese Werte erst berechnen müssen.
$y$-Werte berechnen
Jetzt setzen wir nacheinander unsere $x$-Werte in die Funktionsgleichung
$$ y = 0{,}5x - 2 $$
ein, um die gesuchten $y$-Werte zu berechnen.
$$ f(-3) = 0{,}5 \cdot (-3) - 2 = -3{,}5 $$
$$ f(-2) = 0{,}5 \cdot (-2) - 2 = -3 $$
$$ f(-1) = 0{,}5 \cdot (-1) - 2 = -2{,}5 $$
$$ f(0) = 0{,}5 \cdot 0 - 2 = -2 $$
$$ f(1) = 0{,}5 \cdot 1 - 2 = -1{,}5 $$
$$ f(2) = 0{,}5 \cdot 2 - 2 = -1 $$
$$ f(3) = 0{,}5 \cdot 3 - 2 = -0{,}5 $$
Nachdem wir alle Werte berechnet haben, können wir die Wertetabelle vollständig ausfüllen.
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y\text{-Werte} & -3{,}5 & -3 & -2{,}5 & -2 & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 \\ \end{array} $$
Jede Spalte ist graphisch betrachtet ein Punkt. Der erste Punkt lautet z. B. $P_1(-3|{-3{,}5})$ .
Punkte einzeichnen
Punkte verbinden
Quadratische Funktion
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 7$.
Punkte berechnen
Wertetabelle anlegen
In der 1. Zeile der Wertetabelle stehen beliebige $x$-Werte. Bei quadratischen Funktionen verwendet man meist Werte im Intervall von $-5$ bis $5$ im Abstand von einer Längeneinheit.
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline y\text{-Werte} & & & & & \\ \end{array} $$
In der 2. Zeile stehen später die $y$-Werte zu den eben ausgesuchten $x$-Werten. Diese Zeile bleibt aber zunächst leer, da wir diese Werte erst berechnen müssen.
$y$-Werte berechnen
Jetzt setzen wir nacheinander unsere $x$-Werte in die Funktionsgleichung
$$ f(x) = x^2 - 4x + 7 $$
ein, um die gesuchten $y$-Werte zu berechnen.
$$ f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 7 = 7 $$
$$ f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 7 = 4 $$
$$ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 3 $$
$$ f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 7 = 4 $$
$$ f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 7 = 7 $$
Nachdem wir alle Werte berechnet haben, können wir die Wertetabelle vollständig ausfüllen.
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline y\text{-Werte} & 7 & 4 & 3 & 4 & 7 \\ \end{array} $$
Jede Spalte ist graphisch betrachtet ein Punkt. Der erste Punkt lautet z. B. $P_1(0|7)$.
Punkte einzeichnen
Punkte verbinden
Exponentialfunktion
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x) = 2^x - 3$.
Punkte berechnen
Wertetabelle anlegen
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y\text{-Werte} & & & & & & & \\ \end{array} $$
$y$-Werte berechnen
Jetzt setzen wir nacheinander die in der Wertetabelle festgelegten $x$-Werte in die Funktionsgleichung
$$ f(x) = 2^x - 3 $$
ein, um die gesuchten $y$-Werte zu berechnen.
$$ f(-3) = 2^{-3} - 3 = \frac{1}{8} - 3 = 0{,}125 - 3 = -2{,}875 $$
$$ f(-2) = 2^{-2} - 3 = \frac{1}{4} - 3 = 0{,}25 - 3 = -2{,}75 $$
$$ f(-1) = 2^{-1} - 3 = \frac{1}{2} - 3 = 0{,}5 - 3 = -2{,}5 $$
$$ f(0) = 2^{0} - 3 = 1 - 3 = -2 $$
$$ f(1) = 2^{1} - 3 = 2 - 3 = -1 $$
$$ f(2) = 2^{2} - 3 = 4 - 3 = 1 $$
$$ f(3) = 2^{3} - 3 = 8 - 3 = 5 $$
Nachdem wir alle Werte berechnet haben, können wir die Wertetabelle vollständig ausfüllen.
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y\text{-Werte} & -2{,}875 & -2{,}75 & -2{,}5 & -2 & -1 & 1 & 5 \\ \end{array} $$
Jede Spalte ist graphisch betrachtet ein Punkt. Der erste Punkt lautet z. B. $P_1(-3|{-2{,}875})$.
Punkte einzeichnen
Punkte verbinden
e-Funktion
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x) = e^x$.
Punkte berechnen
Wertetabelle anlegen
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y\text{-Werte} & & & & & \\ \end{array} $$
$y$-Werte berechnen
Jetzt setzen wir nacheinander die in der Wertetabelle festgelegten $x$-Werte in die Funktionsgleichung
$$ f(x) = e^x $$
ein, um die gesuchten $y$-Werte zu berechnen.
$$ f(-2) = e^{-2} \approx 0{,}14 $$
$$ f(-1) = e^{-1} \approx 0{,}37 $$
$$ f(0) = e^{0} = 1 $$
$$ f(1) = e^{1} \approx 2{,}72 $$
$$ f(2) = e^{2} \approx 7{,}39 $$
Nachdem wir alle Werte berechnet haben, können wir die Wertetabelle vollständig ausfüllen.
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y\text{-Werte} & 0{,}14 & 0{,}37 & 1 & 2{,}72 & 7{,}39 \\ \end{array} $$
Jede Spalte ist graphisch betrachtet ein Punkt. Der erste Punkt lautet z. B. $P_1(-2|0{,}14)$.
Punkte einzeichnen
Punkte verbinden
Spezialfall: Konstante Funktionen
Eine konstante Funktion nimmt unabhängig vom $x$-Wert immer einen festen (konstanten) $y$-Wert an.
Aus diesem Grund macht es keinen Sinn, eine Wertetabelle anzulegen. Konstante Funktionen kann man stets direkt in ein Koordinatensystem zeichnen.
Allgemeine Funktionsgleichung einer konstanten Funktion
$$ f(x) = c $$
Dabei ist $c$ eine beliebige reelle Zahl.
Charakteristisch für konstante Funktionen ist, dass die Variable $x$ in der Funktionsgleichung nicht vorkommt.
