Graph
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Graph einer Funktion ist.
Einordnung
Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element ${\color{red}x}$ der Definitionsmenge ${\color{red}D}$
genau ein Element ${\color{blue}y}$ der Wertemenge ${\color{blue}W}$
zugeordnet ist.
Wem diese Definition zu theoretisch ist, sollte folgende Abbildung genau betrachten:
Für die Definitionsmenge $D$ gilt:
${\color{red}D = \{1, 2, 3, 4\}}$.
Für die Wertemenge $W$ gilt:
${\color{blue}W = \{2, 4, 6, 8\}}$.
Der Zusammenhang zwischen den Elementen ${\color{red}x}$ der Definitionsmenge und den Elementen ${\color{blue}y}$ der Wertemenge zeigen Zuordnungspfeile an.
Um zu erklären, was eine Funktion ist, eignet sich die obige Abbildung hervorragend: Es ist sofort ersichtlich das jedem ${\color{red}x}$ genau ein ${\color{blue}y}$ zugeordnet ist. Möchte man allerdings weitere Informationen aus der Funktion herauslesen, wählt man eine andere Darstellung der Funktion.
Es gibt im Wesentlichen drei Möglichkeiten, eine Funktion darzustellen:
Funktionsgleichung
Funktionsgraph (kurz: Graph)
Wertetabelle
In diesem Kapitel beschränken wir uns auf den Graphen einer Funktion.
Definition
Der Graph einer Funktion $f$ ist
die Menge aller geordneten Paare $({\color{red}x},{\color{blue}y})$
aus den Elementen ${\color{red}x}$ der Definitionsmenge ${\color{red}D}$ und
den Elementen ${\color{blue}y}$ der Wertemenge ${\color{blue}W}$.
Geordnet bedeutet, dass in $({\color{red}x},{\color{blue}y})$ die Reihenfolge von ${\color{red}x}$ und ${\color{blue}y}$ wichtig ist:$({\color{red}x},{\color{blue}y})$ ist verschieden von $({\color{blue}y},{\color{red}x})$ – außer möglicherweise in Sonderfällen.
Beispiel
Laut Abbildung gilt:
$$ {\color{red}1} \longmapsto {\color{blue}2} $$
$$ {\color{red}2} \longmapsto {\color{blue}4} $$
$$ {\color{red}3} \longmapsto {\color{blue}6} $$
$$ {\color{red}4} \longmapsto {\color{blue}8} $$
Die Funktionsgleichung der obigen Funktion lautet:
$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} {\color{blue}2} & \text{für } x = {\color{red}1} \\[5px] {\color{blue}4} & \text{für } x = {\color{red}2} \\[5px] {\color{blue}6} & \text{für } x = {\color{red}3} \\[5px] {\color{blue}8} & \text{für } x = {\color{red}4} \end{cases} \end{equation*} $$
Der Graph $G$ der Funktion $f$ ist die Menge aller geordneten Paare $(x,y)$:
$$ G_f = \{({\color{red}1},{\color{blue}2}),({\color{red}2},{\color{blue}4}),({\color{red}3},{\color{blue}6}),({\color{red}4},{\color{blue}8})\} $$
Die geordneten Paare $({\color{red}x},{\color{blue}y})$ werden meist als Punkte mit den Koordinaten $({\color{red}x}|{\color{blue}y})$ interpretiert:
$P_1({\color{red}1}|{\color{blue}2})$, $P_2({\color{red}2}|{\color{blue}4})$, $P_3({\color{red}3}|{\color{blue}6})$, $P_4({\color{red}4}|{\color{blue}8})$
Zeichnet man die Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem, erhält man folgende Abbildung. Dabei handelt es sich um den Graphen der Funktion.
Der Graph besteht in diesem Fall lediglich aus vier Punkten. In den meisten Fällen (siehe nächster Abschnitt) handelt es sich bei dem Graphen einer Funktion um eine Gerade oder eine Kurve.
Graphen verschiedener Funktionen
Im Folgenden schauen wir uns einige Beispiele für Funktionsgraphen an.
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
In der Abbildung ist der Graph der Funktion $f(x) = x$ eingezeichnet.
Hier gilt:
$$ D = \mathbb{R} $$
$$ W = \mathbb{R} $$
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
In der Abbildung ist der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ eingezeichnet.
Hier gilt:
$$ D = \mathbb{R} $$
$$ W = [0;\infty[ $$
In der Abbildung ist der Graph der Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ eingezeichnet.
Hier gilt:
$$ D = \mathbb{R} \setminus \{0\} $$
$$ W = \mathbb{R} \setminus \{0\} $$
Obwohl man zwei Kurven sieht, handelt es sich um den Graphen einer Funktion. Die Funktion ist für $x = 0$ nicht definiert, weshalb der Graph nicht durchgehend verläuft.
