Wertebereich bestimmen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man den Wertebereich einer Funktion bestimmt. Häufig spricht man auch von der Wertemenge. Die beiden Begriffe haben dieselbe Bedeutung.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Definitionsmenge
- Wertemenge
Einordnung
Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element $x$ des Definitionsbereichs $\mathbb{D}$
genau ein Element $y$ des Wertebereichs $\mathbb{W}$
zugeordnet ist.
Aus der Definition einer Funktion folgt, dass eine Funktion aus drei Teilen besteht:
Funktionsgleichung
Definitionsbereich
Wertebereich
Der Wertebereich beantwortet die Frage:Welche
$y$-Werte nimmt die Funktion an?
Nehmen wir an, dass du die Funktion $f(x) = x^2$ untersuchen sollst. In der Aufgabenstellung ist zusätzlich der Definitionsbereich angegeben: $D_f = \{{\color{maroon}1}, {\color{maroon}2}, {\color{maroon}3}, {\color{maroon}4}, {\color{maroon}5}\}$. Der Definitionsbereich sagt uns in diesem Fall, dass wir nur die Werte $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$ in die Funktion $f(x) = x^2$ einsetzen dürfen. Der Wertebereich entspricht der Menge von $y$-Werten, die man erhält, wenn man jedes $x$ des Definitionsbereichs in die Funktion einsetzt:
$$ f({\color{maroon}1}) = {\color{maroon}1}^2 = {\color{red}1} $$
$$ f({\color{maroon}2}) = {\color{maroon}2}^2 = {\color{red}4} $$
$$ f({\color{maroon}3}) = {\color{maroon}3}^2 = {\color{red}9} $$
$$ f({\color{maroon}4}) = {\color{maroon}4}^2 = {\color{red}16} $$
$$ f({\color{maroon}5}) = {\color{maroon}5}^2 = {\color{red}25} $$
Für den Wertebereich gilt demnach: $W_f = \{{\color{red}1}, {\color{red}4}, {\color{red}9}, {\color{red}16}, {\color{red}25}\}$.
Wertebereiche wichtiger Funktionen
Lineare Funktionen
Aus dem Kapitel Definitionsbereich bestimmen wissen wir, dass lineare Funktionen in ganz $\mathbb{R}$ definiert sind. Für $x$ können wir also jede reelle Zahl einsetzen.
Da lineare Funktionen entweder streng monoton fallend (fallende Gerade) oder streng monoton steigend (steigende Gerade) sind, wird jeder $y$-Wert angenommen.
Der Wertebereich einer linearen Funktion ist $\mathbb{R}$.
Gegeben sei die Funktion $f(x) = x + 2$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f = [{\color{maroon}0}; {\color{maroon}2}]$.
Dieses Mal hat der Aufgabensteller den Definitionsbereich beschränkt. Wie berechnet sich jetzt der Wertebereich? Da die gegebene Funktion streng monoton steigend ist, ist das Vorgehen ganz einfach.
Wir setzen zunächst die untere Grenze des Intervalls (${\color{maroon}0}$) in die Funktion ein, um den kleinsten $y$-Wert zu erhalten:
$$ f({\color{maroon}0}) = {\color{maroon}0} + 2 = {\color{red}2} $$
Danach setzen wir die obere Grenze des Intervalls (${\color{maroon}2}$) in die Funktion ein, um den größten $y$-Wert zu erhalten:
$$ f({\color{maroon}2}) = {\color{maroon}2} + 2 = {\color{red}4} $$
Der kleinste $y$-Wert (${\color{red}2}$) und der größte $y$-Wert (${\color{red}4}$) sind die Grenzen des gesuchten Wertebereichs: $\mathbb{W}_f = [{\color{red}2}; {\color{red}4}]$.
Quadratische Funktionen
Aus dem Kapitel Definitionsbereich bestimmen wissen wir, dass quadratische Funktionen in ganz $\mathbb{R}$ definiert sind. Für $x$ können wir also jede reelle Zahl einsetzen.
Im Gegensatz zu den linearen Funktionen nehmen quadratische Funktionen aber grundsätzlich nicht jeden $y$-Wert an.
Für den Wertebereich einer quadratischen Funktion gilt:
$\mathbb{W}_f = [{\color{red}y_s}; \infty[$, wenn das Vorzeichen von$x^2$positiv ist$\mathbb{W}_f = ]-\infty;{\color{red}y_s}]$, wenn das Vorzeichen von$x^2$negativ ist
Dabei ist ${\color{red}y_s}$ die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts $\text{S}(x_s|{\color{red}y_s})$.
Vorzeichen von $\boldsymbol{x^2}$ ablesen
Scheitelpunkt berechnen
Wertebereich festlegen
zu 1)
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Der Scheitelpunkt der Parabel ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion den höchsten $y$-Wert (= Hochpunkt) oder den niedrigsten $y$-Wert (= Tiefpunkt) annimmt. Ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt, lässt sich an dem Vorzeichen von $x^2$ in der Funktionsgleichung erkennen: Ist das Vorzeichen positiv, handelt es sich bei dem Scheitelpunkt um einen Tiefpunkt. Ist das Vorzeichen negativ, handelt es sich um einen Hochpunkt.
zu 2)
Hauptkapitel: Scheitelpunkt berechnen
Funktion
$$ f(x) = x^2-6x+10 $$
Definitionsbereich
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$
Das Vorzeichen von $x^2$ ist positiv, weshalb es sich bei dem Scheitelpunkt um einen Tiefpunkt handelt.
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei
$\text{S}(3|{\color{red}1})$.
Für den Wertebereich der Funktion gilt folglich:
$\mathbb{W}_f = [{\color{red}1};\infty[$.
Funktion
$$ f(x) = -x^2+8x-14 $$
Definitionsbereich
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$
Das Vorzeichen von $x^2$ ist negativ, weshalb es sich bei dem Scheitelpunkt um einen Hochpunkt handelt.
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei
$\text{S}(4|{\color{red}2})$.
Für den Wertebereich der Funktion gilt folglich:
$\mathbb{W}_f = ]-\infty;{\color{red}2}]$.
Wertebereich besonderer Funktionen
Um den Wertebereich einer Funktion zu bestimmen, muss man in den meisten Fällen die Extrempunkte (Hochpunkte, Tiefpunkte) berechnen und eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Die Bestimmung des Wertebereichs ist deshalb oft Teil einer Kurvendiskussion:
| Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion | $f(x) = x^3 -6^2 + 8x$ |
| Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion | $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ |
| Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion | $f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}$ |
| Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion | $f(x) = x \cdot \ln x$ |
