Sattelpunkt berechnen
In diesem Kapitel lernst du, wie man einen Sattelpunkt einer Funktion berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall eines Wendepunktes:
Ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente heißt Sattelpunkt.
Satz
Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
$f''(x_0) = 0$$f'''(x_0) \neq 0$$f'(x_0) = 0$
Die 1. und 2. Bedingung sind die Bedingungen für einen Wendepunkt. Die 3. Bedingung ist die Bedingung für eine waagrechte Tangente.
Anleitung
2. Ableitung berechnen
Nullstellen der 2. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen
Gleichung lösen
3. Ableitung berechnen
Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen
$\boldsymbol{x}$-Koordinaten der Wendepunkte in 1. Ableitung einsetzen
$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Sattelpunkte berechnen
zu 2)
Die Nullstellen der 2. Ableitung sind die $x$-Koordinaten der möglichen Wendepunkte.
zu 4)
Ist die 3. Ableitung dann ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt.
zu 5)
Ist die 1. Ableitung dann gleich Null, handelt es sich um einen Sattelpunkt.
zu 6)
Ein Punkt besteht im $\mathbb{R}^2$ immer aus zwei Koordinaten, weshalb man bei der Berechnung eines Sattelpunktes nicht seine $y$-Koordinate vergessen darf. Dazu setzen wir die $x$-Koordinate in $f(x)$ ein.
Untersuche die Funktion $f(x) = x^3$ auf Sattelpunkte.
2. Ableitung berechnen
$$ f'(x) = 3x^2 $$
$$ f''(x) = 6x $$
Nullstellen der 2. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen
$$ 6x = 0 $$
Gleichung lösen
$$ x = 0 $$
3. Ableitung berechnen
$$ f'''(x) = 6 $$
Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen
Da in der 3. Ableitung kein $x$ vorkommt, sind wir bereits fertig.
Die 3. Ableitung ist immer ungleich Null: $f'''(x) = 6 \neq 0$.
Aus diesem Grund liegt an der Stelle $x = 0$ ein Wendepunkt vor.
$\boldsymbol{x}$-Koordinaten der Wendepunkte in 1. Ableitung einsetzen
$$ f'(x) = 3x^2 $$
$$ f'(0) = 3\cdot 0^2 = 0 $$
Da die 1. Ableitung für $x_0 = 0$ gleich Null ist, liegt an dieser Stelle ein Sattelpunkt vor.
$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Sattelpunkte berechnen
$$ y = f(0) = 0^3 = 0 $$
$\Rightarrow$ Die Funktion hat bei $(0|0)$ einen Sattelpunkt.
Graphische Darstellung
Untersuche die Funktion $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - 2x + 2$ auf Sattelpunkte.
2. Ableitung berechnen
$$ f'(x) = -2x^2 + 4x - 2 $$
$$ f''(x) = -4x + 4 $$
Nullstellen der 2. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen
$$ -4x + 4 = 0 $$
Gleichung lösen
$$ \begin{align*} -4x + 4 &= 0 &&|\, -4 \\[5px] -4x &= -4 &&|\, :4 \\[5px] x &= \frac{-4}{-4} \\[5px] x &= 1 \end{align*} $$
3. Ableitung berechnen
$$ f'''(x) = -4 $$
Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen
Da in der 3. Ableitung kein $x$ vorkommt, sind wir bereits fertig.
Die 3. Ableitung ist immer ungleich Null: $f'''(x) = -4 \neq 0$.
Aus diesem Grund liegt an der Stelle $x = 1$ ein Wendepunkt vor.
$\boldsymbol{x}$-Koordinaten der Wendepunkte in 1. Ableitung einsetzen
$$ f'(x) = -2x^2 + 4x - 2 $$
$$ f'(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 2= 0 $$
Da die 1. Ableitung für $x_0 = 1$ gleich Null ist, liegt an dieser Stelle ein Sattelpunkt vor.
$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Sattelpunkte berechnen
$$ y = f(1) = -\frac{2}{3} \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = \frac{4}{3} $$
$\Rightarrow$ Die Funktion hat bei $(1|\frac{4}{3})$ einen Sattelpunkt.
Graphische Darstellung
