1. Ableitung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Bedeutung bzw. der Interpretation der ersten Ableitung. Falls du noch nicht weißt, wie man die erste Ableitung berechnet, solltest du dir den Themenbereich der Differentialrechnung durchlesen.
Geometrische Interpretation
Geometrisch entspricht die Ableitung einer Funktion der Tangentensteigung.
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ (rot) sowie der Graph der Tangente (blau) eingezeichnet. Die Tangentensteigung können wir aus der Ableitung $f'(x) = 2x$ berechnen.
Du kannst in der Abbildung den weißen Knopf verschieben, um leichter zu erkennen, dass Folgendes gilt:
Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle $x_0$ ist definiert als die Steigung der Tangente im Punkt $(x_0|f(x_0))$ des Graphen von $f$.
Wir erkennen:
In einem Bereich, in dem die 1. Ableitung größer Null ist ($f'(x_0) > 0$), steigt der Graph.
In einem Bereich, in dem die 2. Ableitung kleiner Null ist ($f'(x_0) < 0$), fällt der Graph.
Außerdem gilt:
Waagrechte Tangenten
Dort, wo die 1. Ableitung gleich Null ist ($f'(x_0) = 0$), liegt eine waagrechte Tangente vor.
Im Kapitel Extremwerte berechnen werden wir lernen, dass ein notwendiges Kriterium für Extrempunkte (= Hochpunkt oder Tiefpunkt) das Vorliegen einer waagrechten Tangente ist.
In der obigen Abbildung kannst du eine waagrechte Tangente erzeugen, indem du den weißen Knopf auf $x_0=0$ bewegst. Genau an dieser Stelle liegt nämlich der Tiefpunkt der quadratischen Funktion $f(x) = x^2$.
