Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt vorliegt.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
In einer Kurvendiskussion wird häufig nach dem Symmetrieverhalten einer Funktion gefragt. Dabei können wir folgende Arten unterscheiden:
| Art der Symmetrie | Bedingung |
|---|---|
Achsensymmetrie zur $y$-Achse | $f(-x) = f(x)$ |
| Punktsymmetrie zum Ursprung | $f(-x) = -f(x)$ |
| Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse | $f(x_0+h) = f(x_0-h)$ |
| Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt | $f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0$ |
Satz
Symmetrie zu einem Punkt liegt vor, wenn gilt
$$ f(x_0+h) - y_0= - f(x_0-h) + y_0 $$
Dabei sind $x_0$ und $y_0$ die Koordinaten des Punktes.
Anleitung
$\boldsymbol{f(x_0+h)-y_0}$ berechnen
$\boldsymbol{-f(x_0-h)+y_0}$ berechnen
Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Beispiele
Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = \frac{x}{x-1}$ zum Punkt $(1|1)$ symmetrisch ist.
$\boldsymbol{f(x_0+h)-y_0}$ berechnen
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_0+h}) - {\color{blue}y_0} &= \frac{{\color{red}1+h}}{{\color{red}1+h}-1} - {\color{blue}1} \\[5px] &= \frac{1+h}{h} - \frac{h}{h} \\[5px] &= \frac{1}{h} + \frac{h}{h} - \frac{h}{h} \\[5px] &= \frac{1}{h} \end{align*} $$
$\boldsymbol{-f(x_0-h)+y_0}$ berechnen
$$ \begin{align*} -f({\color{red}x_0-h}) + {\color{blue}y_0} &= -\left[\frac{{\color{red}1-h}}{{\color{red}1-h}-1}\right] + {\color{blue}1} \\[5px] &= - \left[\frac{1-h}{-h}\right] + 1 \\[5px] &= - \left[-\frac{1-h}{h}\right] + 1 \\[5px] &= \frac{1-h}{h} + \frac{h}{h} \\[5px] &= \frac{1}{h} -\frac{h}{h} + \frac{h}{h} \\[5px] &= \frac{1}{h} \end{align*} $$
Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Wegen
$$ f(x_0+h) - y_0 = - f(x_0-h) + y_0 $$
bzw.
$$ \frac{1}{h}=\frac{1}{h} $$
ist die Funktion $f(x)$ zum Punkt $(1|1)$ symmetrisch.
Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^3 + 3x^2$ zum Punkt $(-1|2)$ symmetrisch ist.
$\boldsymbol{f(x_0+h)-y_0}$ berechnen
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_0+h}) - {\color{blue}y_0} &= \left[({\color{red}-1+h})^3 + 3({\color{red}-1+h})^2\right] - {\color{blue}2} \\[5px] &= \left[\left(1 - 2h +h^2\right) \cdot \left(-1+h\right) + 3\left(1-2h+h^2\right)\right] - 2 \\[5px] &= \left[-1 + 2h - h^2 + h - 2h^2 + h^3 + 3 -6h + 3h^2\right] - 2 \\[5px] &= \left[h^3 - 3h + 2\right] - 2 \\[5px] &= h^3 - 3h\end{align*} $$
$\boldsymbol{-f(x_0-h)+y_0}$ berechnen
$$ \begin{align*} -f({\color{red}x_0-h}) + {\color{blue}y_0} &= -\left[({\color{red}-1-h})^3 + 3({\color{red}-1-h})^2\right] + {\color{blue}2} \\[5px] &= -\left[\left(1+2h+h^2\right) \cdot \left(-1-h\right) + 3(1+2h+h^2)\right] + 2 \\[5px] &= -\left[-1 -2h -h^2 -h -2h^2 -h^3 + 3 + 6h + 3h^2 \right] + 2 \\[5px] &= -\left[-h^3 +3h + 2\right] + 2 \\[5px] &= h^3 - 3h \end{align*} $$
Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Wegen
$$ f(x_0+h) - y_0 = - f(x_0-h) + y_0 $$
bzw.
$$ h^3 - 3h = h^3 - 3h $$
ist die Funktion $f(x)$ zum Punkt $(-1|2)$ symmetrisch.
