Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

$\mathit{f}\mathbf{(}{\mathit{x}}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathit{h}\mathbf{)}\mathbf{-}{\mathit{y}}_{\mathbf{0}}$ berechnen

$$\begin{array}{rl}f(x_0+h)-y_0& =\frac{1+h}{1+h-1}-1\\ & =\frac{1+h}{h}-\frac{h}{h}\\ & =\frac{1}{h}+\frac{h}{h}-\frac{h}{h}\\ & =\frac{1}{h}\end{array}$$

$\mathbf{-}\mathit{f}\mathbf{(}{\mathit{x}}_{\mathbf{0}}\mathbf{-}\mathit{h}\mathbf{)}\mathbf{+}{\mathit{y}}_{\mathbf{0}}$ berechnen

$$\begin{array}{rl}-f(x_0-h)+y_0& =-\left[\frac{1-h}{1-h-1}\right]+1\\ & =-\left[\frac{1-h}{-h}\right]+1\\ & =-[-\frac{1-h}{h}]+1\\ & =\frac{1-h}{h}+\frac{h}{h}\\ & =\frac{1}{h}-\frac{h}{h}+\frac{h}{h}\\ & =\frac{1}{h}\end{array}$$

Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

$$f(x_0+h)-y_0=-f(x_0-h)+y_0$$

bzw.

$$\frac{1}{h}=\frac{1}{h}$$

ist die Funktion $f(x)$ zum Punkt $(1|1)$ symmetrisch.

$\mathit{f}\mathbf{(}{\mathit{x}}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathit{h}\mathbf{)}\mathbf{-}{\mathit{y}}_{\mathbf{0}}$ berechnen

$$\begin{array}{rl}f(x_0+h)-y_0& =[(-1+h{)}^3+3(-1+h{)}^2]-2\\ & =[(1-2h+h^2)\cdot (-1+h)+3(1-2h+h^2)]-2\\ & =[-1+2h-h^2+h-2h^2+h^3+3-6h+3h^2]-2\\ & =[h^3-3h+2]-2\\ & =h^3-3h\end{array}$$

$\mathbf{-}\mathit{f}\mathbf{(}{\mathit{x}}_{\mathbf{0}}\mathbf{-}\mathit{h}\mathbf{)}\mathbf{+}{\mathit{y}}_{\mathbf{0}}$ berechnen

$$\begin{array}{rl}-f(x_0-h)+y_0& =-[(-1-h{)}^3+3(-1-h{)}^2]+2\\ & =-[(1+2h+h^2)\cdot (-1-h)+3(1+2h+h^2)]+2\\ & =-[-1-2h-h^2-h-2h^2-h^3+3+6h+3h^2]+2\\ & =-[-h^3+3h+2]+2\\ & =h^3-3h\end{array}$$

Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

$$f(x_0+h)-y_0=-f(x_0-h)+y_0$$

bzw.

$$h^3-3h=h^3-3h$$

ist die Funktion $f(x)$ zum Punkt $(-1|2)$ symmetrisch.