Achsensymmetrie zur y-Achse
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse vorliegt.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
In einer Kurvendiskussion wird häufig nach dem Symmetrieverhalten einer Funktion gefragt. Dabei können wir folgende Arten unterscheiden:
| Art der Symmetrie | Bedingung |
|---|---|
Achsensymmetrie zur $y$-Achse | $f(-x) = f(x)$ |
| Punktsymmetrie zum Ursprung | $f(-x) = -f(x)$ |
| Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse | $f(x_0+h) = f(x_0-h)$ |
| Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt | $f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0$ |
Satz
Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse liegt vor, wenn gilt
$$ f(-x) = f(x) $$
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ eingezeichnet. Die Symmetrieachse ($y$-Achse) ist farblich durch eine gestrichelte rote Linie hervorgehoben.
Als Beispiel ist der Punkt $P(2|4)$ eingezeichnet. Dieser wird durch die Symmetrieachse auf den Punkt $P'(-2|4)$ abgebildet. Dabei gilt:
$$ f(2) = 2^2 = 4 $$
$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 $$
bzw.
$$ f(-x) = f(x) $$
Anleitung
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{f(x)}$ ist
Beispiele
Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^2$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^2 = x^2 $$
Da der Exponent gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg.
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{f(x)}$ ist
$$ f(-x) = x^2 = f(x) $$
$\Rightarrow$ Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse
Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^3$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^3 = -x^3 $$
Da der Exponent ungerade ist, bleibt das negative Vorzeichen erhalten.
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{f(x)}$ ist
$$ f(-x) = -x^3 \neq f(x) $$
$\Rightarrow$ Funktion ist nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse
Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^4 - 8x^2$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^4 - 8({\color{red}-x})^2 = x^4 - 8x^2 $$
Da beide Exponenten gerade sind, fallen die negativen Vorzeichen weg.
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{f(x)}$ ist
$$ f(-x) = x^4 - 8x^2 = f(x) $$
$\Rightarrow$ Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse
