Punktsymmetrie zum Ursprung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
In einer Kurvendiskussion wird häufig nach dem Symmetrieverhalten einer Funktion gefragt. Dabei können wir folgende Arten unterscheiden:
| Art der Symmetrie | Bedingung |
|---|---|
Achsensymmetrie zur $y$-Achse | $f(-x) = f(x)$ |
| Punktsymmetrie zum Ursprung | $f(-x) = -f(x)$ |
| Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse | $f(x_0+h) = f(x_0-h)$ |
| Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt | $f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0$ |
Satz
Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt
$$ f(-x) = -f(x) $$
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x)=x^3$ eingezeichnet. Der Punkt $S(0|0)$, zu dem der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist, wurde farblich hevorgehoben.
Als Beispiel ist der Punkt $P(1|1)$ eingezeichnet. Dieser wird durch die Symmetrieachse auf den Punkt $P'(-1|{-1})$ abgebildet. Dabei gilt:
$$ f(1) = 1^3 = 1 $$
$$ f(-1) = (-1)^3 = -1 $$
bzw.
$$ f(-x) = -f(x) $$
Anleitung
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{-f(x)}$ ist
Beispiele
Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^3$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^3 = -x^3 $$
Da der Exponent ungerade ist, bleibt das negative Vorzeichen erhalten.
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{-f(x)}$ ist
$$ f(-x) = -x^3 = -f(x) $$
$\Rightarrow$ Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung
Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^2$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^2 = x^2 $$
Da der Exponent gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg.
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{-f(x)}$ ist
$$ f(-x) = x^2 \neq -f(x) $$
$\Rightarrow$ Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung
Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^5 - 3x$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^5 - 3({\color{red}-x}) = -x^5 + 3x = -(x^5-3x) $$
Da beide Exponenten ungerade sind, bleiben die negativen Vorzeichen erhalten.
Anschließend Klammern wir $-1$ aus, damit wir das Ergebnis einfacher ablesen können.
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{-f(x)}$ ist
$$ f(-x) = -(x^5-3x) = -f(x) $$
$\Rightarrow$ Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung
