Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse vorliegt.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
In einer Kurvendiskussion wird häufig nach dem Symmetrieverhalten einer Funktion gefragt. Dabei können wir folgende Arten unterscheiden:
| Art der Symmetrie | Bedingung |
|---|---|
Achsensymmetrie zur $y$-Achse | $f(-x) = f(x)$ |
| Punktsymmetrie zum Ursprung | $f(-x) = -f(x)$ |
| Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse | $f(x_0+h) = f(x_0-h)$ |
| Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt | $f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0$ |
Satz
Symmetrie zu einer Achse liegt vor, wenn gilt
$$ f(x_0+h) = f(x_0-h) $$
Dabei ist $x_0$ die Gleichung der Achse.
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x)=x^2-4x+4$ eingezeichnet. Die Symmetrieachse $x_0 = 2$ ist farblich durch eine gestrichelte rote Linie hervorgehoben.
Als Beispiel ist der Punkt $P(4|4)$ eingezeichnet. Dieser wird durch die Symmetrieachse auf den Punkt $P'(0|4)$ abgebildet. Dabei gilt:
$$ f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 4 = 4 $$
$$ f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 4 = 4 $$
bzw.
$$ f(2+h)=f(2-h) $$
Anleitung
$\boldsymbol{x_0+h}$ in die Funktion einsetzen
$\boldsymbol{x_0-h}$ in die Funktion einsetzen
Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Beispiele
Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 4$ zur Achse $x_0 = 2$ symmetrisch ist.
$\boldsymbol{x_0+h}$ in die Funktion einsetzen
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_0+h}) &= ({\color{red}2+h})^2 - 4({\color{red}2+h}) + 4 \\[5px] &= 4 +4h + h^2 - 8 - 4h + 4 \\[5px] &= h^2 \end{align*} $$
$\boldsymbol{x_0-h}$ in die Funktion einsetzen
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_0-h}) &= ({\color{red}2-h})^2 - 4({\color{red}2-h}) + 4 \\[5px] &= 4 - 4h + h^2 - 8 + 4h + 4 \\[5px] &= h^2 \end{align*} $$
Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Wegen
$$ f(x_0+h)=f(x_0-h) $$
bzw.
$$ h^2 = h^2 $$
ist die Funktion $f(x)$ zur Achse mit der Gleichung $x_0 = 2$ symmetrisch.
Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^2 + 6x + 9$ zur Achse $x_0 = -3$ symmetrisch ist.
$\boldsymbol{x_0+h}$ in die Funktion einsetzen
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_0+h}) &= ({\color{red}-3+h})^2 + 6({\color{red}-3+h}) + 9 \\[5px] &= 9 - 6h + h^2 - 18 + 6h + 9 \\[5px] &= h^2 \end{align*} $$
$\boldsymbol{x_0-h}$ in die Funktion einsetzen
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_0-h}) &= ({\color{red}-3-h})^2 + 6({\color{red}-3-h}) + 9 \\[5px] &= 9 + 6h + h^2 - 18 - 6h + 9 \\[5px] &= h^2 \end{align*} $$
Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Wegen
$$ f(x_0+h)=f(x_0-h) $$
bzw.
$$ h^2 = h^2 $$
ist die Funktion $f(x)$ zur Achse mit der Gleichung $x_0 = -3$ symmetrisch.
