Krümmungsverhalten
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Krümmungsverhalten einer Funktion.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Die 2. Ableitung hilft zu entscheiden, ob sich eine Kurve im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn dreht, wenn wir uns im Koordinatensystem von links nach rechts bewegen.
Gilt $f''(x) < 0$ so kann man sagen:
Der Funktionsgraph dreht sich um Uhrzeigersinn.
Der Funktionsgraph ist rechtgekrümmt (konkav).
Gilt $f''(x) > 0$ so kann man sagen:
Der Funktionsgraph dreht sich um Gegegnuhrzeigersinn.
Der Funktionsgraph ist linksgekrümmt (konvex).
Merkhilfen
Wenn die 2. Ableitung negativ ist, ist die Funktion rechtsgekrümmt.
Wenn die 2. Ableitung positiv ist, ist die Funktion linksgekrümmt.Wenn die 2. Ableitung negativ ist: trauriger Smiley.
Wenn die 2. Ableitung positiv ist: fröhlicher Smiley.
(Wie der Mund vom Smiley so ist auch die Krümmung der Funktion.)Konkav ist der Buckel vom Schaf.
Rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt?
Rechtskrümmung
Für $f''(x) < 0$ ist der Funktionsgraph rechtgekrümmt.
Linkskrümmung
Für $f''(x) > 0$ ist der Funktionsgraph linksgekrümmt.
Sonderfall: Funktion, die links- und rechtsgekrümmt ist
$$ f(x) = x^3 - x^2 $$
$$ f'(x) = 3x^2 - 2x $$
$$ f''(x) = 6x - 2 $$
Wenn in der 2. Ableitung der Funktion ein $x$ vorkommt, handelt es sich in der Regel um eine Funktion, die linksgekrümmte und rechtsgekrümmte Bereiche hat. Diese Bereiche oder Intervalle lassen sich berechnen, indem man überlegt, wo die 2. Ableitung kleiner (größer) Null ist.
Wann ist die 2. Ableitung kleiner Null?
$$ \text{Ansatz: } 6x - 2 < 0 $$
Die obige Ungleichung müssen wir jetzt nach $x$ auflösen.
$$ \begin{align*} 6x - 2 &< 0 &&|\, +2 \\[5px] 6x &< 2 &&|\, :6 \\[5px] x &< \frac{2}{6} \\[5px] x &< \frac{1}{3} \end{align*} $$
Daraus folgt:
$$ \text{Für} \quad x < \frac{1}{3} \quad \text{ist die Funktion rechtsgekrümmt.} $$
Wann ist die 2. Ableitung größer Null?
$$ \text{Ansatz: } 6x - 2 > 0 $$
Die obige Ungleichung müssen wir jetzt nach $x$ auflösen.
$$ \begin{align*} 6x - 2 &> 0 &&|\, +2 \\[5px] 6x &> 2 &&|\, :6 \\[5px] x &> \frac{2}{6} \\[5px] x &> \frac{1}{3} \end{align*} $$
Daraus folgt:
$$ \text{Für} \quad x > \frac{1}{3} \quad \text{ist die Funktion linksgekrümmt.} $$
Graphische Darstellung
