Wendepunkt berechnen
In diesem Kapitel lernst du, wie man den Wendepunkt einer Funktion berechnet.
Einordnung
Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.
Satz
Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:
$$ f''(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f'''(x_0) \neq 0 $$
Anleitung
2. Ableitung berechnen
Nullstellen der 2. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen
Gleichung lösen
3. Ableitung berechnen
Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen
$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Wendepunkte berechnen
zu 2)
Die Nullstellen der 2. Ableitung sind die $x$-Koordinaten der möglichen Wendepunkte.
zu 4)
Ist die 3. Ableitung dann ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt.
zu 5)
Ein Punkt besteht im $\mathbb{R}^2$ immer aus zwei Koordinaten, weshalb man bei der Berechnung eines Wendepunktes nicht seine $y$-Koordinate vergessen darf. Dazu setzen wir die $x$-Koordinate in $f(x)$ ein.
Beispiele
Die Funktion $f(x) = x^3$ ist auf Wendepunkte zu untersuchen.
2. Ableitung berechnen
$$ f'(x) = 3x^2 $$
$$ f''(x) = 6x $$
Nullstellen der 2. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen
$$ 6x = 0 $$
Gleichung lösen
$$ x = 0 $$
3. Ableitung berechnen
$$ f'''(x) = 6 $$
Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen
Da in der 3. Ableitung kein $x$ vorkommt, sind wir bereits fertig.
Die 3. Ableitung ist immer ungleich Null: $f'''(x) = 6 \neq 0$.
Aus diesem Grund liegt an der Stelle $x = 0$ ein Wendepunkt vor.
$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Wendepunkte berechnen
$$ y = f(0) = 0^3 = 0 $$
$\Rightarrow$ Die Funktion hat bei $(0|0)$ einen Wendepunkt.
Graphische Darstellung
Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x) = x^3$ eingezeichnet. Außerdem ist der Wendepunkt der Funktion rot markiert.
Für $x < 0$ ist die Funktion rechtsgekrümmt.
Für $x > 0$ ist die Funktion linksgekrümmt.
Es wird deutlich, dass der Wendepunkt $x = 0$ der Punkt ist, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.
Die Funktion $f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x$ ist auf Wendepunkte zu untersuchen.
2. Ableitung berechnen
$$ f'(x) = 2x^2 + 6x + 4 $$
$$ f''(x) = 4x + 6 $$
Nullstellen der 2. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen
$$ 4x + 6 = 0 $$
Gleichung lösen
$$ \begin{align*} 4x + 6 &= 0 &&|\, -6 \\[5px] 4x &= -6 &&|\, :4 \\[5px] x &= -\frac{6}{4} \\[5px] x&= 1{,}5 \end{align*} $$
3. Ableitung berechnen
$$ f'''(x) = 4 $$
Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen
Da in der 3. Ableitung kein $x$ vorkommt, sind wir bereits fertig.
Die 3. Ableitung ist immer ungleich Null: $f'''(x) = 4 \neq 0$.
Aus diesem Grund liegt an der Stelle $x = -1{,}5$ ein Wendepunkt vor.
$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Wendepunkte berechnen
$$ y = f(-1{,}5) = \frac{2}{3} \cdot (-1{,}5)^3 + 3\cdot (-1{,}5)^2 + 4\cdot (-1{,}5) = -1{,}5 $$
$\Rightarrow$ Die Funktion hat bei $\left(-1{,}5|{-1{,}5}\right)$ einen Wendepunkt.
Graphische Darstellung
Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x$ eingezeichnet. Außerdem ist der Wendepunkt der Funktion rot markiert.
Für $x < -1{,}5$ ist die Funktion rechtsgekrümmt.
Für $x > -1{,}5$ ist die Funktion linksgekrümmt.
Es wird deutlich, dass der Wendepunkt $x = -1{,}5$ der Punkt ist, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.
