2. Ableitung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Bedeutung bzw. der Interpretation der zweiten Ableitung. Falls du noch nicht weißt, wie man Ableitungen berechnet, solltest du dir den Themenbereich der Differentialrechnung durchlesen.

Inhaltsverzeichnis

Geometrische Interpretation

Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, ob sich eine Kurve im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn dreht, wenn wir uns im Koordinatensystem von links nach rechts bewegen.

Beispiel 1

Die blaue Kurve dreht sich im Uhrzeigersinn. Man sagt auch, dass sie konkav ist.

Die rote Kurve dreht sich im Gegenuhrzeigersinn. Man sagt auch, dass sie konvex ist.

Merkspruch

Konkav ist der Buckel vom Schaf.

Abb. 1

In einem anderen Kapitel lernst du mehr über das Krümmungsverhalten einer Funktion.

Ist die Funktion konkav oder konvex?

Konkavität

Für $f''(x) < 0$ nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich ab.
$\Rightarrow$ Der Graph der Funktion ist konkav!

Beispiel 2

$$ f(x) = -x^2 $$

$$ f'(x) = -2x $$

$$ f''(x) = -2 < 0 $$

Die Funktion $f(x) = -x^2$ ist konkav. Ihre zweite Ableitung ist (immer) kleiner Null.

Abb. 2

Konvexität

Für $f''(x) > 0$ nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich zu.
$\Rightarrow$ Der Graph der Funktion ist konvex!

Beispiel 3

$$ f(x) = x^2 $$

$$ f'(x) = 2x $$

$$ f''(x) = 2 > 0 $$

Die Funktion $f(x) = x^2$ ist konvex. Ihre zweite Ableitung ist (immer) größer Null.

Abb. 3

Sonderfall: Funktion, die konkav und konvex ist

Beispiel 4

$$ f(x) = x^3 - x^2 $$

$$ f'(x) = 3x^2 - 2x $$

$$ f''(x) = 6x - 2 $$

Wann ist die 2. Ableitung kleiner (bzw. größer) Null?

$$ \begin{align*} 6x - 2 &< 0 &&|\, +2 \\[5px] 6x &< 2 &&|\, :6 \\[5px] x &< \frac{2}{6} \\[5px] x &< \frac{1}{3} \end{align*} $$

Daraus folgt:

Die Funktion $f(x) = x^3-x^2$ ist für $x < \frac{1}{3}$ konkav und für $x > \frac{1}{3}$ konvex.

Um den Übergang von konkav zu konvex zu verdeutlichen, wurde bei $x = \frac{1}{3}$ eine gestrichelte Linie eingezeichnet.

Abb. 4

Im nächsten Kapitel erfährst du, wie uns die 2. Ableitung dabei hilft, die Extremwerte (Hochpunkte und Tiefpunkte) einer Funktion zu berechnen.

Online-Rechner

Ableitungsrechner