2. Ableitung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Bedeutung bzw. der Interpretation der zweiten Ableitung. Falls du noch nicht weißt, wie man Ableitungen berechnet, solltest du dir den Themenbereich der Differentialrechnung durchlesen.
Geometrische Interpretation
Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, ob sich eine Kurve im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn dreht, wenn wir uns im Koordinatensystem von links nach rechts bewegen.
In einem anderen Kapitel lernst du mehr über das Krümmungsverhalten einer Funktion.
Ist die Funktion konkav oder konvex?
Konkavität
Für $f''(x) < 0$
nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich ab.$\Rightarrow$
Der Graph der Funktion ist konkav!
Konvexität
Für $f''(x) > 0$
nimmt die Steigung der Kurve kontinuierlich zu.$\Rightarrow$
Der Graph der Funktion ist konvex!
Sonderfall: Funktion, die konkav und konvex ist
$$ f(x) = x^3 - x^2 $$
$$ f'(x) = 3x^2 - 2x $$
$$ f''(x) = 6x - 2 $$
Wann ist die 2. Ableitung kleiner (bzw. größer) Null?
$$ \begin{align*} 6x - 2 &< 0 &&|\, +2 \\[5px] 6x &< 2 &&|\, :6 \\[5px] x &< \frac{2}{6} \\[5px] x &< \frac{1}{3} \end{align*} $$
Daraus folgt:
Im nächsten Kapitel erfährst du, wie uns die 2. Ableitung dabei hilft, die Extremwerte (Hochpunkte und Tiefpunkte) einer Funktion zu berechnen.