Monotonieverhalten
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was sich hinter dem Begriff Monotonieverhalten
verbirgt.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Das Monotonieverhalten einer Funktion gibt Auskunft darüber, in welchen Bereichen der Graph einer Funktion steigt oder fällt.
In diesem Zusammenhang solltest du folgende Sätze kennen:
Die Funktion $f$ ist streng monoton steigend, wenn $f'(x) > 0$ gilt.
Die Funktion $f$ ist streng monoton fallend, wenn $f'(x) < 0$ gilt.
Monotonieverhalten bestimmen
Grundsätzlich gibt es zwei unterschiedliche Vorgehensweisen, das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen.
Mit 2. Ableitung
1. Ableitung berechnen
Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen
Gleichung lösen
2. Ableitung berechnen
Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen
Intervalle aufstellen
Ergebnis ermitteln
Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion $f(x) = x^2$.
1. Ableitung berechnen
$$ f'(x) = 2x $$
Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen
$$ 2x = 0 $$
Gleichung lösen
$$ x = 0 $$
2. Ableitung berechnen
$$ f''(x) = 2 $$
Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen
$$ f''(0) = 2 > 0 \quad \Rightarrow \text{Tiefpunkt} $$
Intervalle aufstellen
Die berechnete Nullstelle teilt den relevanten Bereich in zwei Intervalle:
- Intervall:
$\left]-\infty;0\right[$ - Intervall:
$\left]0;+\infty\right[$
Ergebnis ermitteln
Da bei $x = 0$ ein Tiefpunkt vorliegt, fällt die Funktion von $-\infty$ bis zu diesem Punkt.
$$ \left]-\infty;0\right[: \text{ streng monoton fallend} $$
Rechts vom Tiefpunkt dagegen steigt die Funktion.
$$ \left]0;+\infty\right[: \text{ streng monoton steigend} $$
Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion $f(x) = -x^2$.
1. Ableitung berechnen
$$ f'(x) = -2x $$
Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen
$$ -2x = 0 $$
Gleichung lösen
$$ x = 0 $$
2. Ableitung berechnen
$$ f''(x) = -2 $$
Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen
$$ f''(0) = -2 < 0 \quad \Rightarrow \text{Hochpunkt} $$
Intervalle aufstellen
Die berechnete Nullstelle teilt den relevanten Bereich in zwei Intervalle:
- Intervall:
$\left]-\infty;0\right[$ - Intervall:
$\left]0;+\infty\right[$
Ergebnis ermitteln
Da bei $x = 0$ ein Hochpunkt vorliegt, steigt die Funktion von $-\infty$ bis zu diesem Punkt.
$$ \left]-\infty;0\right[: \text{ streng monoton steigend} $$
Rechts vom Hochpunkt dagegen fällt die Funktion.
$$ \left]0;+\infty\right[: \text{ streng monoton fallend} $$
Ohne 2. Ableitung
1. Ableitung berechnen
Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen
Gleichung lösen
Intervalle aufstellen
Montonietabelle anlegen
Vorzeichen der Intervalle berechnen
Ergebnis interpretieren
Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion $f(x) = x^2$.
1. Ableitung berechnen
$$ f'(x) = 2x $$
Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen
$$ 2x = 0 $$
Gleichung lösen
$$ x = 0 $$
Intervalle aufstellen
Die berechnete Nullstelle teilt den relevanten Bereich in zwei Intervalle:
- Intervall:
$\left]-\infty;0\right[$ - Intervall:
$\left]0;+\infty\right[$
Montonietabelle anlegen
In der 1. Zeile der Monotonietabelle stehen die Intervalle.
In der 2. Zeile der Monotonietabelle notieren wir im 5. Schritt die Vorzeichen der Intervalle.
Das Grundgerüst der Tabelle sieht dementsprechend so aus:
$$ \begin{array}{c|cc} &\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline f'(x) & & \end{array} $$
Vorzeichen der Intervalle berechnen
Um das Vorzeichen eines Intervalls zu berechnen, setzen wir eine beliebige Zahl des Intervalls in die 1. Ableitung ein.
Aus dem Intervall
$\left]-\infty;0\right[$wählen wir die Zahl$-1$:$$ f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \quad \Rightarrow \text{Negatives Vorzeichen} $$Aus dem Intervall
$\left]0;+\infty\right[$wählen wir die Zahl$-1$:$$ f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \quad \Rightarrow \text{Positives Vorzeichen} $$
Diese Zwischenergebnisse notieren wir in der Monotonietabelle.
$$ \begin{array}{c|cc} &\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline f'(x) & - & +\\ \end{array} $$
Ergebnis interpretieren
$$ \begin{array}{c|cc} &\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline f'(x) & - & +\\ & \text{s. m. fallend} & \text{s. m. steigend} \end{array} $$
Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion $f(x) = -x^2$.
1. Ableitung berechnen
$$ f'(x) = -2x $$
Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen
$$ -2x = 0 $$
Gleichung lösen
$$ x = 0 $$
Intervalle aufstellen
Die berechnete Nullstelle teilt den relevanten Bereich in zwei Intervalle:
- Intervall:
$\left]-\infty;0\right[$ - Intervall:
$\left]0;+\infty\right[$
Montonietabelle anlegen
In der 1. Zeile der Monotonietabelle stehen die Intervalle.
In der 2. Zeile der Monotonietabelle notieren wir im 5. Schritt die Vorzeichen der Intervalle.
Das Grundgerüst der Tabelle sieht dementsprechend so aus:
$$ \begin{array}{c|cc} &\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline f'(x) & & \end{array} $$
Vorzeichen der Intervalle berechnen
Um das Vorzeichen eines Intervalls zu berechnen, setzen wir eine beliebige Zahl des Intervalls in die 1. Ableitung ein.
Aus dem Intervall
$\left]-\infty;0\right[$wählen wir die Zahl$-1$:$$ f'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2 \quad \Rightarrow \text{Positives Vorzeichen} $$Aus dem Intervall
$\left]0;+\infty\right[$wählen wir die Zahl$-1$:$$ f'(1) = -2 \cdot 1 = -2 \quad \Rightarrow \text{Negatives Vorzeichen} $$
Diese Zwischenergebnisse notieren wir in der Monotonietabelle.
$$ \begin{array}{c|cc} &\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline f'(x) & + & -\\ \end{array} $$
Ergebnis interpretieren
$$ \begin{array}{c|cc} &\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline f'(x) & + & -\\ & \text{s. m. steigend} & \text{s. m. fallend} \end{array} $$
Sonderbehandlung von Polstellen
In den bisherigen Beispielen haben wir ausschließlich die Nullstellen der 1. Ableitung zur Bestimmung der Intervalle herangezogen. In diesem Zusammenhang spielen neben Nullstellen auch die Polstellen einer Funktion eine Rolle.
Schauen wir uns dazu ein kurzes Beispiel an, das in dem Kapitel Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion ausführlicher dargestellt wird.
Gegeben ist die Funktion
$$ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $$
Bei $x = -1$ besitzt die Funktion eine Polstelle.
Die Nullstellen der 1. Ableitung lauten: $x_1 = -2$ und $x_2 = 0$.
Mithilfe dieser Informationen können wir die Intervalle aufstellen:
$$ \begin{array}{c|cccc} &\left]-\infty;-2\right[ &\left]-2;-1\right[ &\left]-1;0\right[ & \left]0;\infty\right[ \\ \hline f'(x) & & & & \\ \end{array} $$
Merke
Zur Festlegung der Intervalle müssen wir neben den Nullstellen der 1. Ableitung auch die Polstellen einer Funktion berücksichtigen.
Verfahren 1 oder Verfahren 2?
In diesem Kapitel haben wir zwei Verfahren kennengelernt, um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen. Es stellt sich die Frage, wann man welches Verfahren am besten einsetzt.
Gründe für Verfahren 1 (Mit 2. Ableitung)
Wenn du in einer Aufgabenstellung neben dem Monotonieverhalten auch nach dem Krümmungsverhalten oder nach Wendepunkten gefragt wirst, so verwende dieses Verfahren. Da du die 2. Ableitung ohnehin berechnen musst, kannst du diese auch direkt zur Bestimmung des Monotonieverhaltens einsetzen.
Gründe für Verfahren 2 (Ohne 2. Ableitung)
Wenn du die 2. Ableitung im Verlauf einer Aufgabe nicht (!) brauchst, so spar es dir, diese zu berechnen und verwende eine Monotonietabelle zur Bestimmung des Monotonieverhaltens. Bei gebrochenrationalen Funktionen kann es oftmals sehr schreibaufwendig sein, die 2. Ableitung zu berechnen.
Fazit
Lies dir die Aufgabenstellung vollständig durch und überlege, ob du die 2. Ableitung brauchst. Unter Umständen kannst du dir auf diese Weise eine Menge wertvoller Zeit sparen.
