Kurvendiskussion - Gebrochenrationale Funktion
In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer gebrochenrationalen Funktion durch.
Gegeben sei die gebrochenrationale Funktion
$$ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $$
Wir sollen eine möglichst umfassende Kurvendiskussion durchführen.
Ableitungen
Hauptkapitel: Ableitung
Wir berechnen zunächst die ersten beiden Ableitungen der Funktion, weil wir diese im Folgenden immer wieder brauchen.
Um die Ableitungen einer gebrochenrationalen Funktion zu berechnen, brauchen wir stets die
$$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2} $$
In Worten
$$ f(x) = \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{\text{Nenner} \cdot \text{Ableitung Zähler} - \text{Zähler} \cdot \text{Ableitung Nenner}}{\text{Nenner}^2} $$
Merkregel
$$ f(x) = \frac{\text{Z}}{\text{N}} \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{\text{NAZ} - \text{ZAN}}{\text{N}^2} \qquad \text{(NAZ minus ZAN durch N²)} $$
Gegebene Funktion
$$ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $$
1. Ableitung
$$ \begin{align*} f'(x) &= \frac{\overbrace{(x+1)}^\text{N} \cdot \overbrace{2x}^\text{AZ} - \overbrace{x^2}^\text{Z} \cdot \overbrace{1}^\text{AN}}{{\underbrace{(x+1)}_{\text{N}}}^2} \\[5px] &= \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} \\[5px] &= \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \end{align*} $$
2. Ableitung
$$ \begin{align*} f''(x) &= \frac{{\overbrace{(x+1)^2}^\text{N}} \cdot \overbrace{(2x + 2)}^\text{AZ} - \overbrace{\left(x^2 + 2x\right)}^\text{Z} \cdot \overbrace{2(x+1) \cdot 1}^\text{AN} }{[{\underbrace{(x+1)^2}_\text{N}}]^2} \\[5px] &= \frac{\left(x^2 + 2x + 1\right) \cdot (2x + 2) - \left(x^2 + 2x\right) \cdot (2x + 2)}{(x+1)^4} \\[5px] &= \frac{2x^3 + 4x^2 + 2x + 2x^2 + 4x + 2 - (2x^3 + 4x^2 + 2x^2 + 4x)}{(x+1)^4} \\[5px] &= \frac{2x^3 + 6x^2 + 6x + 2 - (2x^3 + 6x^2 + 4x)}{(x+1)^4} \\[5px] &= \frac{2x + 2}{(x+1)^4} \\[5px] &= \frac{2(x+1)}{(x+1)^4} \\[5px] &= \frac{2}{(x+1)^3} \end{align*} $$
Definitionsbereich
Hauptkapitel: Definitionsbereich bestimmen
Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:Welche
$x$-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?
Der Nenner eines Bruchs darf nie Null werden!
Wann wird der Nenner Null?
$$ \begin{align*} x + 1 &= 0 &&|\, -1 \\[5px] x &= -1 \end{align*} $$
Für unsere Aufgabe gilt also: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
Nullstellen
Hauptkapitel: Nullstellen berechnen
1) Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ \frac{x^2}{x+1} $$
2) Gleichung lösen
Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich Null ist – d. h. es reicht, wenn wir den Zähler untersuchen.
$$ x^2 = 0 $$
$$ \Rightarrow x = 0 $$
Es handelt es um eine doppelte Nullstelle.
Das bedeutet, dass es sich an dieser Stelle lediglich um einen Berührpunkt mit der $x$-Achse handelt.
y-Achsenabschnitt
Hauptkapitel: $y$-Achsenabschnitt berechnen
Der $y$-Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle $x=0$.
Wir berechnen also $f(0)$:
$$ f({\color{red}0}) = \frac{{\color{red}0}^2}{{\color{red}0}+1} = 0 $$
Der $y$-Achsenabschnitt ist bei $y = 0$.
Grenzwerte
Hauptkapitel: Grenzwerte
Verhalten im Unendlichen
Für sehr große Werte strebt die Funktion gegen + unendlich
:
$$ \lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}\right) = +\infty $$
Für sehr kleine Werte strebt die Funktion gegen - unendlich
:
$$ \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{x^2}{x+1}\right) = -\infty $$
Verhalten an der Definitionslücke
Hauptkapitel: Polstellen berechnen
Bei einer Annäherung von rechts strebt die Funktion gegen + unendlich
:
$$ \lim_{x\to -1+0} \left(\frac{x^2}{x+1}\right) = +\infty $$
Bei einer Annäherung von links strebt die Funktion gegen - unendlich
:
$$ \lim_{x\to -1-0} \left(\frac{x^2}{x+1}\right) = -\infty $$
Asymptoten
Hauptkapitel: Asymptoten berechnen
Senkrechte Asymptote
Da bei $x = -1$ eine Polstelle ist (siehe oben), gibt es dort eine senkrechte Asymptote.
Schiefe Asymptote
Da der Grad des Zählers um $1$ größer ist als der Grad des Nenners, gibt es eine schiefe Asymptote.
Die Gleichung der Asymptote erhalten wir durch Polynomdivision (Zähler durch Nenner):
$$ \begin{array}{l} \quad x^2:(x+1)= x - 1 + \frac{1}{x+1} \\ -(x^2 + x) \\ \qquad \quad -x \\ \qquad -(-x-1) \\ \qquad \qquad \qquad 1 \end{array} $$
Da der Nennergrad des Bruchs (ganz rechts im Ergebnis der Polynomdivision) größer ist als der Zählergrad, wird dieser Restterm für sehr große $x$-Werte immer kleiner und nähert sich Null an:
$$ \lim_{x\to \pm\infty}\left(\frac{1}{x+1}\right) = 0 $$
Der Graph der Funktion strebt deshalb gegen die schiefe Asymptote mit der Gleichung
$$ g(x) = x-1 $$
Symmetrie
Hauptkapitel: Symmetrieverhalten
Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse
$$ f(-x) = f(x) $$
Punktsymmetrie zum Ursprung
$$ f(-x) = -f(x) $$
Wir setzen $-x$ in die Funktion
$$ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $$
ein und erhalten:
$$ f({\color{red}-x}) = \frac{({\color{red}-x})^2}{{\color{red}-x}+1} = \frac{x^2}{-x+1} $$
Danach analysieren wir das Ergebnis:
$$ \frac{x^2}{-x+1} \neq f(x) $$
$$ \frac{x^2}{-x+1} \neq -f(x) $$
$\Rightarrow$ Die Funktion ist weder zur $y$-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.
Extrempunkte
Hauptkapitel: Extremwerte berechnen
Für einen Hochpunkt gilt:$f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) < 0$
Für einen Tiefpunkt gilt:$f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) > 0$
1) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
1.1) Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen
$$ \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = 0 $$
1.2) Gleichung lösen
Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich Null ist.
$$ x^2 + 2x = 0 $$
Dabei handelt es sich um eine quadratische Gleichung, die wir durch Ausklammern lösen können:
$$ x \cdot (x + 2) = 0 $$
Der Satz vom Nullprodukt besagt:Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
1. Faktor
$$ x = 0 $$
2. Faktor
$$ \begin{align*} x + 2 &= 0 &&|\, -2 \\[5px] x &= -2 \end{align*} $$
Die beiden Nullstellen heißen ${\color{red}x_1} = {\color{red}-2}$ und ${\color{red}x_2} = {\color{red}0}$.
2) Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen
Nun setzen wir die berechneten Werte in die 2. Ableitung
$$ f''(x) = \frac{2}{(x+1)^3} $$
ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden:
$$ f''({\color{red}x_1}) = f''({\color{red}-2}) = \frac{2}{(-{\color{red}2}+1)^3} = -2 < 0 $$
$$ f''({\color{red}x_2}) = f''({\color{red}0}) = \frac{2}{({\color{red}0}+1)^3} = 2 > 0 $$
Wir wissen jetzt, dass an der Stelle $x_1$ ein Hochpunkt und an der Stelle $x_2$ ein Tiefpunkt vorliegt.
3) $\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Extrempunkte berechnen
Zu guter Letzt müssen wir noch die $y$-Werte der beiden Punkte berechnen.
Dazu setzen wir $x_1$ bzw. $x_2$ in die ursprüngliche (!) Funktion
$$ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $$
ein und erhalten:
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_1}) &= f({\color{red}-2}) \\[5px] &= \frac{({\color{red}-2})^2}{-2+1} \\[5px] &= {\color{blue}-4} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_2}) &= f({\color{red}0}) \\[5px] &= \frac{ {\color{red}0}^2}{0+1} \\[5px] &= {\color{blue}0} \end{align*} $$
Wir halten fest:
Hochpunkt $H({\color{red}-2}|{\color{blue}-4})$
Tiefpunkt $T({\color{red}0}|{\color{blue}0})$
Monotonieverhalten
Hauptkapitel: Monotonieverhalten
Die Funktion $f$ ist streng monoton zunehmend, wenn $f'(x) > 0$ gilt.
Die Funktion $f$ ist streng monoton abnehmend, wenn $f'(x) < 0$ gilt.
Das Monotonieverhalten lässt sich leicht aus den eben berechneten Extremwerten und den Grenzwertbetrachtungen folgern:
$$ \begin{array}{c|cccc} &\left]-\infty;-2\right[ &\left]-2;-1\right[ &\left]-1;0\right[ & \left]0;\infty\right[ \\ \hline f'(x) & + & - & - & +\\ & \text{s. m. steigend} & \text{s. m. fallend} & \text{s. m. fallend} & \text{s. m. steigend} \end{array} $$
- Im 1. Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion bis zum Hochpunkt steigt.
- Im 2. Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, weil die Funktion zwischen Hochpunkt und Definitionslücke gegen
- unendlich
strebt. - Im 3. Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, weil die Funktion von
+ unendlich
bis zum Tiefpunkt fällt. - Im 4. Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion ab dem Tiefpunkt wieder steigt.
Krümmung
Hauptkapitel: Krümmungsverhalten
Der Graph ist linksgekrümmt, wenn $f''(x) > 0$ gilt.
Der Graph ist rechtsgekrümmt, wenn $f''(x) < 0$ gilt.
Wann ist die 2. Ableitung größer Null?
$$ \frac{2}{(x+1)^3} > 0 $$
Die Lösung der Bruchungleichung ist
$$ x > -1 $$
$\Rightarrow$ Für $x > -1$ ist der Graph linksgekrümmt.$\Rightarrow$ Für $x < -1$ ist der Graph rechtsgekrümmt.
Wendepunkt und Wendetangente
Hauptkapitel: Wendepunkt und Wendetangente
Für einen Wendepunkt gilt:$f''(x_0) = 0$ und $f'''(x_0) \neq 0$
1) Nullstellen der 2. Ableitung berechnen
1.1) Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen
$$ \frac{2}{(x+1)^3} = 0 $$
1.2) Gleichung lösen
Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich Null ist.
Da der Zähler immer $2$ ist und deshalb nie Null werden kann, hat die die 2. Ableitung keine Nullstelle.
Folglich gibt es weder einen Wendepunkt noch eine Wendetangente.
Wertebereich
Hauptkapitel: Wertebereich bestimmen
Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:Welche
$y$-Werte kann die Funktion annehmen?
Der Wertebereich geht in diesem Fall von - unendlich
bis zum Hochpunkt ($y$-Wert!) und vom Tiefpunkt ($y$-Wert!) bis + unendlich
.
Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: $W_f = \left]-\infty; -4\right] \wedge \left[0; +\infty\right[$
Graph
Hauptkapitel: Graph zeichnen
Wertetabelle
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & -4 & -3 & -2 & -1{,}5 & -0{,}5 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & -5{,}33 & -4{,}50 & -4 & -4{,}50 & 0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1{,}33 & 2{,}25 \end{array} $$
