Kurvendiskussion - Gebrochen­rationale Funktion

In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer gebrochenrationalen Funktion durch.

Gegeben sei die gebrochenrationale Funktion

$$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$$

Wir sollen eine möglichst umfassende Kurvendiskussion durchführen.

Ableitungen 

Hauptkapitel: Ableitung

Wir berechnen zunächst die ersten beiden Ableitungen der Funktion, weil wir diese im Folgenden immer wieder brauchen.

Um die Ableitungen einer gebrochenrationalen Funktion zu berechnen, brauchen wir stets die

In Worten

$$f(x)=\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\to f^{\prime }(x)=\frac{\text{Nenner}\cdot \text{Ableitung Zähler}-\text{Zähler}\cdot \text{Ableitung Nenner}}{{\text{Nenner}}^2}$$

Merkregel

$$f(x)=\frac{\text{Z}}{\text{N}}\to f^{\prime }(x)=\frac{\text{NAZ}-\text{ZAN}}{{\text{N}}^2}\text{(NAZ minus ZAN durch N²)}$$

Gegebene Funktion

$$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$$

1. Ableitung

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{\stackrel{\text{N}}{\overbrace{(x+1)}}\cdot \stackrel{\text{AZ}}{\overbrace{2x}}-\stackrel{\text{Z}}{\overbrace{x^2}}\cdot \stackrel{\text{AN}}{\overbrace{1}}}{{\underset{\text{N}}{\underbrace{(x+1)}}}^2}\\ & =\frac{2x^2+2x-x^2}{(x+1{)}^2}\\ & =\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}\end{array}$$

2. Ableitung

$$\begin{array}{rl}{f}^{″}(x)& =\frac{\stackrel{\text{N}}{\overbrace{(x+1{)}^2}}\cdot \stackrel{\text{AZ}}{\overbrace{(2x+2)}}-\stackrel{\text{Z}}{\overbrace{(x^2+2x)}}\cdot \stackrel{\text{AN}}{\overbrace{2(x+1)\cdot 1}}}{[\underset{\text{N}}{\underbrace{(x+1{)}^2}}{]}^2}\\ & =\frac{(x^2+2x+1)\cdot (2x+2)-(x^2+2x)\cdot (2x+2)}{(x+1{)}^4}\\ & =\frac{2x^3+4x^2+2x+2x^2+4x+2-(2x^3+4x^2+2x^2+4x)}{(x+1{)}^4}\\ & =\frac{2x^3+6x^2+6x+2-(2x^3+6x^2+4x)}{(x+1{)}^4}\\ & =\frac{2x+2}{(x+1{)}^4}\\ & =\frac{2(x+1)}{(x+1{)}^4}\\ & =\frac{2}{(x+1{)}^3}\end{array}$$

Definitionsbereich 

Hauptkapitel: Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:
Welche $x$-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?

Wann wird der Nenner Null?

$$\begin{array}{rlrl}x+1& =0& & |-1\\ x& =-1\end{array}$$

Für unsere Aufgabe gilt also: ${\mathbb{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

Nullstellen 

Hauptkapitel: Nullstellen berechnen

1) Funktionsgleichung gleich Null setzen

$$\frac{x^2}{x+1}$$

2) Gleichung lösen

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich Null ist – d. h. es reicht, wenn wir den Zähler untersuchen.

$$x^2=0$$

$$\Rightarrow x=0$$

Es handelt es um eine doppelte Nullstelle. Das bedeutet, dass es sich an dieser Stelle lediglich um einen Berührpunkt mit der $x$-Achse handelt.

y-Achsenabschnitt 

Hauptkapitel: $y$-Achsenabschnitt berechnen

Der $y$-Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle $x=0$.

Wir berechnen also $f(0)$:

$$f(0)=\frac{0^2}{0+1}=0$$

Der $y$-Achsenabschnitt ist bei $y=0$.

Grenzwerte 

Hauptkapitel: Grenzwerte

Verhalten im Unendlichen

Für sehr große Werte strebt die Funktion gegen + unendlich:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=+\mathrm{\infty }$$

Für sehr kleine Werte strebt die Funktion gegen - unendlich:

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=-\mathrm{\infty }$$

Verhalten an der Definitionslücke

Hauptkapitel: Polstellen berechnen

Bei einer Annäherung von rechts strebt die Funktion gegen + unendlich:

$$\underset{x\to -1+0}{lim}\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=+\mathrm{\infty }$$

Bei einer Annäherung von links strebt die Funktion gegen - unendlich:

$$\underset{x\to -1-0}{lim}\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=-\mathrm{\infty }$$

Asymptoten 

Hauptkapitel: Asymptoten berechnen

Senkrechte Asymptote

Da bei $x=-1$ eine Polstelle ist (siehe oben), gibt es dort eine senkrechte Asymptote.

Schiefe Asymptote

Da der Grad des Zählers um $1$ größer ist als der Grad des Nenners, gibt es eine schiefe Asymptote.

Die Gleichung der Asymptote erhalten wir durch Polynomdivision (Zähler durch Nenner):

$$\begin{array}{l}{x}^2:(x+1)=x-1+\frac{1}{x+1}\\ -(x^2+x)\\ -x\\ -(-x-1)\\ 1\end{array}$$

Da der Nennergrad des Bruchs (ganz rechts im Ergebnis der Polynomdivision) größer ist als der Zählergrad, wird dieser Restterm für sehr große $x$-Werte immer kleiner und nähert sich Null an:

$$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{1}{x+1}\right)=0$$

Der Graph der Funktion strebt deshalb gegen die schiefe Asymptote mit der Gleichung

$$g(x)=x-1$$

Symmetrie 

Hauptkapitel: Symmetrieverhalten

Wir setzen $-x$ in die Funktion

$$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$$

ein und erhalten:

$$f(-x)=\frac{(-x{)}^2}{-x+1}=\frac{x^2}{-x+1}$$

Danach analysieren wir das Ergebnis:

$$\frac{x^2}{-x+1}\ne f(x)$$

$$\frac{x^2}{-x+1}\ne -f(x)$$

$\Rightarrow$ Die Funktion ist weder zur $y$-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.

Extrempunkte 

Hauptkapitel: Extremwerte berechnen

1) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen

1.1) Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen

$$\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=0$$

1.2) Gleichung lösen

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich Null ist.

$$x^2+2x=0$$

Dabei handelt es sich um eine quadratische Gleichung, die wir durch Ausklammern lösen können:

$$x\cdot (x+2)=0$$

Der Satz vom Nullprodukt besagt:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

1. Faktor

$$x=0$$

2. Faktor

$$\begin{array}{rlrl}x+2& =0& & |-2\\ x& =-2\end{array}$$

Die beiden Nullstellen heißen $x_1=-2$ und $x_2=0$.

2) Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen

Nun setzen wir die berechneten Werte in die 2. Ableitung

$$f^{″}(x)=\frac{2}{(x+1{)}^3}$$

ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden:

$$f^{″}(x_1)=f^{″}(-2)=\frac{2}{(-2+1{)}^3}=-2<0$$

$$f^{″}(x_2)=f^{″}(0)=\frac{2}{(0+1{)}^3}=2>0$$

Wir wissen jetzt, dass an der Stelle $x_1$ ein Hochpunkt und an der Stelle $x_2$ ein Tiefpunkt vorliegt.

3) $\mathit{y}$-Koordinaten der Extrempunkte berechnen

Zu guter Letzt müssen wir noch die $y$-Werte der beiden Punkte berechnen. Dazu setzen wir $x_1$ bzw. $x_2$ in die ursprüngliche (!) Funktion

$$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$$

ein und erhalten:

$$\begin{array}{rl}f(x_1)& =f(-2)\\ & =\frac{(-2{)}^2}{-2+1}\\ & =-4\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}f(x_2)& =f(0)\\ & =\frac{0^2}{0+1}\\ & =0\end{array}$$

Wir halten fest:

Hochpunkt $H(-2|-4)$

Tiefpunkt $T(0|0)$

Monotonieverhalten 

Hauptkapitel: Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten lässt sich leicht aus den eben berechneten Extremwerten und den Grenzwertbetrachtungen folgern:

$$\begin{array}{ccccc}& ]-\mathrm{\infty };-2[& ]-2;-1[& ]-1;0[& ]0;\mathrm{\infty }[\\ f^{\prime }(x)& +& -& -& +\\ & \text{s. m. steigend}& \text{s. m. fallend}& \text{s. m. fallend}& \text{s. m. steigend}\end{array}$$

• Im 1. Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion bis zum Hochpunkt steigt.
• Im 2. Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, weil die Funktion zwischen Hochpunkt und Definitionslücke gegen - unendlich strebt.
• Im 3. Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, weil die Funktion von + unendlich bis zum Tiefpunkt fällt.
• Im 4. Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion ab dem Tiefpunkt wieder steigt.

Krümmung 

Hauptkapitel: Krümmungsverhalten

Wann ist die 2. Ableitung größer Null?

$$\frac{2}{(x+1{)}^3}>0$$

Die Lösung der Bruchungleichung ist

$$x>-1$$

$\Rightarrow$ Für $x>-1$ ist der Graph linksgekrümmt.
$\Rightarrow$ Für $x<-1$ ist der Graph rechtsgekrümmt.

Wendepunkt und Wendetangente 

Hauptkapitel: Wendepunkt und Wendetangente

1) Nullstellen der 2. Ableitung berechnen

1.1) Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen

$$\frac{2}{(x+1{)}^3}=0$$

1.2) Gleichung lösen

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich Null ist.

Da der Zähler immer $2$ ist und deshalb nie Null werden kann, hat die die 2. Ableitung keine Nullstelle.

Folglich gibt es weder einen Wendepunkt noch eine Wendetangente.

Wertebereich 

Hauptkapitel: Wertebereich bestimmen

Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:
Welche $y$-Werte kann die Funktion annehmen?

Der Wertebereich geht in diesem Fall von - unendlich bis zum Hochpunkt ($y$-Wert!) und vom Tiefpunkt ($y$-Wert!) bis + unendlich.

Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: $W_f=]-\mathrm{\infty };-4]\wedge [0;+\mathrm{\infty }[$

Graph 

Hauptkapitel: Graph zeichnen

Wertetabelle

$$\begin{array}{cccccccccc}x& -4& -3& -2& -1,5& -0,5& 0& 1& 2& 3\\ f(x)& -5,33& -4,50& -4& -4,50& 0,5& 0& 0,5& 1,33& 2,25\end{array}$$