Ableitung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Ableitung einer Funktion ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Differenzenquotient
- Differentialquotient
- h-Methode
Definition
Eine Funktion, die jeder Stelle $x_0$ den Wert ihres Differentialquotienten zuordnet, heißt Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung.
Praktische Bedeutung
Ableitungen spielen vor allem im Rahmen einer Kurvendiskussion einer Rolle. In diesem Zusammenhang sollte man verstehen, wie man die Ableitung einer Funktion interpretieren kann. Insbesondere die 1. Ableitung und die 2. Ableitung sind dabei relevant.
Ableitung elementarer Funktionen
Wir wissen bereits, dass sich die Ableitung einer Funktion mithilfe der h-Methode herleiten lässt. Leider ist das sehr zeitaufwändig. Einfacher ist es, wenn man die Ableitungen der wichtigsten Funktionen auswendig kann bzw. weiß, wo man diese nachschlagen kann.
Nachfolgende Tabelle bietet einen Überblick über die wichtigsten Ableitungen.
| Funktion | Ableitung | |
|---|---|---|
| Ableitung Potenzfunktion | $f(x) = x^n$ | $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ |
| Ableitung Wurzel | $f(x) = \sqrt{x}$ | $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| Ableitung e-Funktion | $f(x) = e^x$ | $f'(x) = e^x$ |
| Ableitung Logarithmus | $f(x) = \ln(x)$ | $f'(x) = \frac{1}{x}$ |
| Ableitung Sinus | $f(x) = \sin(x)$ | $f'(x) = \cos(x)$ |
| Ableitung Cosinus | $f(x) = \cos(x)$ | $f'(x) = -\sin(x)$ |
| Ableitung Tangens | $f(x) = \tan(x)$ | $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ |
Ableitung verknüpfter Funktionen
Es reicht leider nicht, wenn man die Ableitung einiger Funktionen auswendig kann. Oft sind nämlich mehrere Funktionen durch Rechenzeichen (plus, minus, mal, geteilt) miteinander verbunden oder die Funktionen sind sogar ineinander verschachtelt (miteinander verkettet). Deshalb musst du dir folgende Ableitungsregeln aneignen:
