Ableitung Sinus
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Ableitung vom Sinus ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist eine Ableitungsfunktion?
- Ableitungsregeln
Formel
| Sinus | Ableitung Sinus |
|---|---|
$f(x) = \sin(x)$ | $f'(x) = \cos(x)$ |
Sich die Ableitung vom Sinus zu merken, ist eigentlich einfach. Wenn allerdings nicht nur ein $x$ als Argument in der Sinusfunktion steht, wird es schon etwas schwieriger. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.
Beispiele
Berechne die Ableitung der Sinusfunktion $f(x) = \sin(2x)$.
Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten
Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = f(x) = \sin(2x)$ ist
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = \sin(x)$ | $$g'(x) = \cos(x)$$ |
$h(x) = 2x$ | $$h'(x) = 2$$ |
Verkettete Funktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \cos(2x) \cdot 2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{f'(x)} = 2\cos(2x) $$
Berechne die Ableitung der Sinusfunktion $f(x) = \sin(x^2 + x)$.
Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten
Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \sin(x^2 + x)$ ist
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = \sin(x)$ | $$g'(x) = \cos(x)$$ |
$h(x) = x^2 + x$ | $$h'(x) = 2x + 1$$ |
Verkettete Funktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \cos(x^2 + x) \cdot (2x + 1) $$
Ergebnis berechnen
Der obige Funktionsterm kann nicht weiter vereinfacht werden.
