Ableitung e-Funktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Ableitung einer e-Funktion berechnet.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Was ist eine Funktion?
Was ist eine Ableitungsfunktion?
Ableitungsregeln

Formel

e-Funktion	Ableitung e-Funktion
$f(x) = e^x$	$f'(x) = e^x$

Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion. Das kann man sich leicht merken. Schwieriger wird es jedoch, wenn nicht nur ein $x$ im Exponenten steht. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.

Beispiele

Beispiel 1

Berechne die Ableitung der e-Funktion $f(x) = e^{2x}$ .

Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten

Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) =e^{2x}$ ist

Funktion	Ableitung
$g(x) = e^x$	`$$g'(x) = e^x$$`
$h(x) = 2x$	`$$h'(x) = 2$$`

Verkettete Funktion ableiten

Formel aufschreiben

$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{f'(x)} = e^{2x} \cdot 2 $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{f'(x)} = 2e^{2x} $$

Beispiel 2

Berechne die Ableitung der e-Funktion $f(x) = e^{x^2 + x}$ .

Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten

Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = e^{x^2 + x}$ ist

Funktion	Ableitung
$g(x) = e^x$	`$$g'(x) = e^x$$`
$h(x) = x^2 + x$	`$$h'(x) = 2x + 1$$`

Verkettete Funktion ableiten

Formel aufschreiben

$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{f'(x)} = e^{x^2 + x} \cdot \left(2x + 1\right) $$

Ergebnis berechnen

Der obige Funktionsterm kann nicht weiter vereinfacht werden.

Lernvideos

Im Folgenden findest du vier Lernvideos, in denen das Ableiten von e-Funktionen ausführlich erklärt wird. Dabei wird auf alle Ableitungsregeln anhand verständlicher Beispiele eingegangen.

Faktorregel & Kettenregel

In folgendem Lernvideo (6:27 min) wird dir die Anwendung der Faktorregel sowie der Kettenregel anhand einer Exponentialfunktion (e-Funktion) gezeigt.

Mehr zur Potenzregel und zur Kettenregel…

Summenregel & Differenzregel

In folgendem Lernvideo (2:30 min) wird dir die Anwendung der Summenregel sowie der Differenzregel anhand einer Exponentialfunktion (e-Funktion) gezeigt.