Ableitung Wurzel
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Ableitung einer Wurzel berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist eine Ableitungsfunktion?
- Ableitungsregeln
Formel
| Wurzel | Ableitung Wurzel |
|---|---|
$f(x) = \sqrt{x}$ | $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
Sich die Ableitung einer Wurzel zu merken, ist eigentlich einfach. Wenn allerdings nicht nur ein $x$ als Argument in der Wurzelfunktion steht, wird es schon etwas schwieriger. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.
Beispiele
Berechne die Ableitung der Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{2x}$.
Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten
Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \sqrt{2x}$ ist
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = \sqrt{x}$ | $$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ |
$h(x) = 2x$ | $$h'(x) = 2$$ |
Verkettete Funktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{1}{\sqrt{2x}} $$
Berechne die Ableitung der Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x^2 + x}$.
Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten
Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \sqrt{x^2 + x}$ ist
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = \sqrt{x}$ | $$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ |
$h(x) = x^2 + x$ | $$h'(x) = 2x + 1$$ |
Verkettete Funktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + x}} \cdot \left(2x + 1\right) $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x}} $$
Lernvideo
In folgendem Lernvideo (6:54 min) wird dir erklärt, wie man die Ableitung einer Wurzel berechnet.
