Differentialquotient

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Differentialquotient ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Differenzenquotient

Einordnung

Bei den linearen Funktionen sind wir zum ersten Mal dem Begriff Steigung einer Funktion begegnet.

Wir kennen bereits die Steigungsformel,

$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$

mit deren Hilfe man aus zwei beliebigen Punkten $\text{P}_0(x_0|y_0)$ und $\text{P}_1(x_1|y_1)$ die Steigung $m$ der Gerade berechnen kann.

Interessant ist, dass eine Gerade in jedem ihrer Punkte die gleiche Steigung besitzt, $m$ also konstant ist.

Abb. 1

Wir merken uns:

Eine Gerade besitzt eine konstante Steigung.

Quadratische Funktionen kennen wir auch schon: Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine spezielle Kurve namens Parabel.

Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie die Steigung einer Kurve (= gekrümmter Graph) definiert ist. Es leuchtet intuitiv ein, dass eine Kurve in zwei beliebigen Punkten $\text{P}_0$ und $\text{P}_1$ – außer in Sonderfällen – eine unterschiedliche Steigung besitzt. Die Steigung $m$ nimmt folglich keinen konstanten Wert an.

Abb. 2

Wir merken uns:

Eine Kurve besitzt keine konstante Steigung.

Fraglich bleibt, was man unter der Steigung einer Kurve überhaupt versteht und wie man diese berechnet. Die Antwort auf diese Fragen liefert die Differentialrechnung:

Mithilfe der Differentialrechnung können wir unser Begriffsverständnis einer Steigung von Geraden auf Kurven ausdehnen:

$$ \text{Steigung einer Gerade} ~\xrightarrow{+\text{Differentialrechnung}}~ \text{Steigung einer Kurve} $$

Bereits im letzten Kapitel haben wir versucht, uns der Steigung einer Kurve ein wenig anzunähern. Dabei sind wir auf den Differenzenquotienten gestoßen:

Gegeben ist eine Kurve.

Wir markieren zwei beliebige Punkte, die auf der Kurve liegen.

Abb. 3

Anschließend ziehen wir durch die beiden Punkte eine Gerade.

Eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht, bezeichnet man als Sekante.

Abb. 4

Die Formel für die Steigung der Sekante können wir mithilfe eines Steigungsdreiecks herleiten.

Für die Sekantensteigung $m$ gilt folglich:

$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$

Diese Formel heißt auch Differenzenquotient.

Abb. 5

Gebräuchlicher ist für den Differenzenquotienten folgende Schreibweise:

$$ m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$

Dabei gilt:

$$ f(x_1) = y_1 $$

$$ f(x_0) = y_0 $$

Abb. 6

Der Differenzenquotient ist leider nur ein Zwischenschritt auf dem Weg zur Steigung einer Kurve. Grund dafür ist, dass er die Steigung einer Gerade angibt, die durch zwei Kurvenpunkte verläuft. Gesucht ist allerdings die Steigung in einem (!) Kurvenpunkt.

Definition

Im Folgenden wollen wir herausfinden, wie Steigung in einem Punkt der Kurve definiert ist.

Bloß, wie stellen wir das an?

Idee

Wir wählen den Punkt $\text{P}_1$ so, dass er möglichst nah an dem Punkt $\text{P}_0$ liegt.

In der Animation ist schön zu erkennen, was bei der Annäherung von $\text{P}_1$ an $\text{P}_0$ passiert: Die Sekante wird zu einer Tangente.

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt.

Abb. 7

Hinter der Annäherung von $\text{P}_1$ an $\text{P}_0$ verbirgt sich mathematisch betrachtet der Grenzwert.

Die Steigung $m$ der Tangente im Punkt $\text{P}_0$ ist demnach folgendermaßen definiert:

$$ m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$

Diese Formel heißt auch Differentialquotient.

Abb. 8

Zusammenfassend gilt:

$$ \overbrace{\lim_{x_1 \to x_0} \underbrace{\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}}}_{\qquad\text{Differenzenquotient}}^{\text{Differentialquotient}} $$

Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

Um den Differentialquotienten vom Differenzenquotienten zu unterscheiden, musst du dir nur merken, dass der Differenzenquotient ein Quotient aus Differenzen ist.

…und wie ist jetzt die Steigung einer Kurve definiert?

Die Steigung einer Kurve im Punkt $\text{P}_0(x_0|y_0)$ entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt.