Tangentensteigung
In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Tangentensteigung berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt, heißt Tangente.
Formel
Leider sind für die Formel zur Berechnung der Tangentensteigung verschiedene Schreibweisen verbreitet. Davon darf man sich nicht verunsichern lassen. Im Folgenden werden einige dieser Schreibweisen erwähnt:
Tangentensteigung
$$ \begin{align*} m &= \lim_{x_1 \to x_0} \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \\[5px] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ &= \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \\[5px] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{(x_0 + \Delta x) - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{align*} $$
Zur Erinnerung: Das Symbol $\Delta$ (Delta
) steht in der Mathematik meist für die Differenz zweier Werte. Hier gilt: $\Delta y = y_1 - y_0$ und $\Delta x = x_1 - x_0$.
Beispiele
Es gibt im Wesentlichen drei Möglichkeiten, die Steigung einer Tangente zu berechnen:
- mithilfe des Differentialquotienten
- mithilfe der h-Methode
- mithilfe der Ableitung der Funktion
Normalerweise verwendet man die Ableitung zur Berechnung der Tangentensteigung. Es gibt allerdings zwei Ausnahmen: Die Ableitung wurde im Unterricht noch nicht besprochen oder der Einsatz des Differentialquotienten bzw. der h-Methode ist in der Aufgabe ausdrücklich vorgeschrieben.
Differentialquotient
Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2$.
Berechne die Steigung der Tangente an der Stelle $x_0 = 2$ mithilfe des Differentialquotienten.
Formel aufschreiben
$$ m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$
Werte einsetzen
Für unser Beispiel gilt:
$f(x_1) = x_1^2$$f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$$x_1$$x_0 = 2$
Daraus folgt:
$$ m = \lim_{x_1 \to 2} \frac{x_1^2 - 4}{x_1 - 2} $$
Term vereinfachen
Notwendiges Vorwissen: 3. Binomische Formel
$$ \begin{align*} m &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{x_1^2 - 4}{x_1 - 2} &&| \text{ 3. Binomische Formel anwenden} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)(x_1 - 2)}{x_1 - 2} &&| \text{ Kürzen} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)\cancel{(x_1 - 2)}}{\cancel{x_1 - 2}} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} x_1 + 2 \end{align*} $$
Grenzwert berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{m} &= 2 + 2 \\[5px] &= 4 \end{align*} $$
Die Steigung der Tangente ist $m = 4$.
h-Methode
Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2$.
Berechne die Steigung der Tangente an der Stelle $x_0 = 2$ mithilfe der h-Methode.
Formel aufschreiben
$$ m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$
Werte einsetzen
Für unser Beispiel gilt:
$f(x_0 + h) = (x_0 + h)^2 = (2 + h)^2$$f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$$h$
Daraus folgt:
$$ m = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h} $$
Term vereinfachen
$$ \begin{align*} m &= \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h} &&| \text{ Ausmultiplizieren} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} &&| \text{ Zusammenfassen} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} &&| \text{ Ausklammern} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot (4 + h)}{h} &&| \text{ Kürzen} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h} \cdot (4 + h)}{\cancel{h}} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} 4 + h \end{align*} $$
Grenzwert berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{m} &= 4 + 0 \\[5px] &= 4 \end{align*} $$
Die Steigung der Tangente ist $m = 4$.
Ableitung
Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2$.
Berechne die Steigung der Tangente an der Stelle $x_0 = 2$ mithilfe der Ableitung.
Funktion ableiten
Die Ableitung der Funktion $f(x) = x^2$ ist $f'(x) = 2x$.
$\boldsymbol{x_0}$ in Ableitung einsetzen
Um die Tangentensteigung an der Stelle $x_0 = 2$ zu berechnen, müssen wir diese Stelle lediglich in die Ableitungsfunktion einsetzen:
$$ m = f'(x_0) = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4 $$
Die Steigung der Tangente ist $m = 4$.
