h-Methode
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was es mit der h-Methode auf sich hat.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Wir haben bereits den Differentialquotienten kennengelernt,
$$ m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$
mit dessen Hilfe wir die Steigung der Tangente im Punkt $\text{P}_0(x_0|y_0)$ berechnen können.
Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2$.
Berechne die Steigung der Tangente an der Stelle $x_0 = 2$ mithilfe des Differentialquotienten.
Formel aufschreiben
$$ m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$
Werte einsetzen
Für unser Beispiel gilt:
$f(x_1) = x_1^2$$f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$$x_1$$x_0 = 2$
Daraus folgt:
$$ m = \lim_{x_1 \to 2} \frac{x_1^2 - 4}{x_1 - 2} $$
Term vereinfachen
Notwendiges Vorwissen: 3. Binomische Formel
$$ \begin{align*} m &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{x_1^2 - 4}{x_1 - 2} &&| \text{ 3. Binomische Formel anwenden} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)(x_1 - 2)}{x_1 - 2} &&| \text{ Kürzen} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)\cancel{(x_1 - 2)}}{\cancel{x_1 - 2}} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} x_1 + 2 \end{align*} $$
Grenzwert berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{m} &= 2 + 2 \\[5px] &= 4 \end{align*} $$
Die Steigung der Tangente ist $m = 4$.
Wie das Beispiel gezeigt hat, ist die Arbeit mit dem Differentialquotienten sehr zeitaufwändig. Abhilfe schafft die sog. Ableitungsfunktion:
Eine Funktion, die jeder Stelle $x_0$ den Wert ihres Differentialquotienten zuordnet, heißt Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung.
Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2$.
Berechne die Steigung der Tangente an der Stelle $x_0 = 2$ der mithilfe der Ableitung.
Funktion ableiten
Die Ableitung der Funktion $f(x) = x^2$ ist $f'(x) = 2x$.
$\boldsymbol{x_0}$ in Ableitung einsetzen
Um die Tangentensteigung an der Stelle $x_0 = 2$ zu berechnen, müssen wir diese Stelle lediglich in die Ableitungsfunktion einsetzen:
$$ m = f'(x_0) = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4 $$
Die Steigung der Tangente ist $m = 4$.
Wir haben gesehen, dass es deutlich einfacher ist, die Tangentensteigung mithilfe der Ableitung zu berechnen. Bloß, wie kommt man auf die Ableitung einer Funktion?
Definition
Die Abbildung kennen wir bereits aus dem Kapitel zum Differenzenquotienten.
Der Differenzenquotient lautet bekanntlich:
$$ m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$
Die Idee hinter der h-Methode ist, dass man nicht einen speziellen Punkt $x_1$ in den Differenzenquotienten einsetzt, sondern einen Platzhalter $h$, für den gilt:
$$ h = x_1 - x_0 $$
Die Variable $h$ – daher der Name h-Methode – steht demnach für den Abstand zweier $x$-Werte.
Wir verändern also die Schreibweise des Differenzenquotienten dahingehend, dass gilt:
$$ h = x_1 - x_0 $$
Dazu lösen wir die Gleichung nach $x_1$ auf:
$$ x_1 = x_0 + h $$
Folglich gilt:
$$ f(x_1) = f(x_0 + h) $$
Differenzenquotient in Abhängigkeit von $h$:
$$ m = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$
Da in der obigen Formel kein $x_1$ mehr vorkommt, kann man für $x_0$ auch einfach $x$ schreiben.
Differenzenquotient in neuer Schreibweise:
$$ m = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$
Bis jetzt haben wir nur den Differenzenquotienten in Abhängigkeit der Variable $h$ ausgedrückt. Gesucht ist aber die Ableitungsfunktion – das ist bekanntlich die Funktion, die jeder Stelle $x_0$ (oder einfach $x$) den Wert ihres Differentialquotienten zuordnet.
Aus dem Kapitel zum Differentialquotienten wissen wir:
Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.
Grenzwert bedeutet in diesem Fall, dass $h$ gegen $0$ geht.
Der Differentialquotient in Abhängigkeit von $h$ lautet demzufolge:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$
In der Animation ist schön zu erkennen, was graphisch passiert, wenn $h$ gegen $0$ geht:
Die Sekante wird zu einer Tangente. Auch das wissen wir schon aus dem letzten Kapitel.
Dadurch dass wir den Differentialquotienten
$$ \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$
in Abhängigkeit der Variable $h$ (mit $h = x_1 - x_0$) umgeschrieben haben zu
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$
können wir nun mithilfe dieser Formel eine Funktion berechnen, die jeder Stelle $x$ den Wert ihres Differentialquotienten zuordnet. Dabei handelt es sich um die gesuchte Ableitungsfunktion $f'(x)$.
Zusammenfassend kann man sagen:
Die h-Methode ist ein Verfahren zur Herleitung von Ableitungsfunktionen.
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x) $$
$f(x+h)$ bedeutet, dass man in die Funktion $f(x)$ an Stelle von $x$ einfach $x + h$ einsetzen muss. Ist beispielsweise $f(x) = x^2$ gegeben, so gilt: $f(x+h) = (x+h)^2$.
Beispiele
Berechne die Ableitung der Funktion $f(x) = x^2$ mithilfe der h-Methode.
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} $$
Term vereinfachen
$$ \begin{align*} \phantom{f'(x)} &= \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} &&| \text{ Ausmultiplizieren} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} &&| \text{ Zusammenfassen} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} &&| \text{ Ausklammern} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h} &&| \text{ Kürzen} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}(2x + h)}{\cancel{h}} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} (2x + h) \end{align*} $$
Grenzwert berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{f'(x)} &= 2x + 0 \\[5px] &= 2x \end{align*} $$
Die Ableitung der Funktion $f(x) = x^2$ ist $f'(x) = 2x$.
Berechne die Ableitung der Funktion $f(x) = x^3$ mithilfe der h-Methode.
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^3 - x^3}{h} $$
Term vereinfachen
$$ \begin{align*} \phantom{f'(x)} &= \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^3 - x^3}{h} &&| \text{ Ausmultiplizieren} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 \cdot (x + h) - x^3}{h} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) \cdot (x + h) - x^3}{h} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 2x^2h + xh^2 + x^2h + 2xh^2 + h^3 - x^3}{h} &&| \text{ Zusammenfassen} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} &&| \text{ Ausklammern} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} &&| \text{ Kürzen} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}(3x^2 + 3xh + h^2)}{\cancel{h}} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) \\[5px] \end{align*} $$
Grenzwert berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{f'(x)} &= 3x^2 + 0 + 0 \\[5px] &= 3x^2 \end{align*} $$
Die Ableitung der Funktion $f(x) = x^3$ ist $f'(x) = 3x^2$.
Praktische Bedeutung
Normalerweise lernt man die h-Methode nur, um zu verstehen, woher die Ableitungsfunktionen kommen. Nach dem Rechnen einiger Beispiele hat das Verfahren in der Regel keine Bedeutung mehr auf dem weiteren Ausbildungsweg.
Viel wichtiger als die h-Methode sind die Ableitungsfunktionen an sich. Diesen begegnet man in der Mathematik häufig bis zum Studium/Beruf. Später kennt man die Ableitungen der wichtigsten elementaren Funktionen (siehe nächster Abschnitt) auswendig oder weiß, wo man diese nachschlagen kann. Die h-Methode spielt spätestens dann keine Rolle mehr.
Wichtige Ableitungsfunktionen
| Funktion | Ableitungsfunktion | |
|---|---|---|
| Ableitung Potenzfunktion | $f(x) = x^n$ | $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ |
| Ableitung Wurzel | $f(x) = \sqrt{x}$ | $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| Ableitung e-Funktion | $f(x) = e^x$ | $f'(x) = e^x$ |
| Ableitung Logarithmus | $f(x) = \ln(x)$ | $f'(x) = \frac{1}{x}$ |
| Ableitung Sinus | $f(x) = \sin x$ | $f'(x) = \cos x$ |
| Ableitung Cosinus | $f(x) = \cos x$ | $f'(x) = -\sin x$ |
| Ableitung Tangens | $f(x) = \tan x$ | $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ |
Die Ableitung zusammengesetzter Funktionen berechnet man übrigens mithilfe der Ableitungsregeln.
