Partielle Ableitung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine partielle Ableitung ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist eine Ableitungsfunktion?
- Ableitungsregeln
Definition
Die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem (!) dieser Argumente heißt partielle Ableitung.
Die Funktion $f(x,y) = 2x + y$ hat zwei Argumente, nämlich $x$ und $y$.
Wir können nach $x$ oder nach $y$ partiell ableiten.
Beispiele
Das Argument, nach dem nicht abgeleitet wird, verhält sich wie eine Konstante.
Zur Erinnerung: Die Ableitung einer Konstanten ist Null.
Leite die Funktion $f(x,y) = 2x + y$ nach $x$ ab.
Zu Übungszwecken setzen wir für $y$ eine beliebige Konstante, z. B. $5$, ein.
$$ f(x,y) = 2x + 5 $$
Die partielle Ableitung ist folglich
$$ f_x(x,y) = 2 $$
Leite die Funktion $f(x,y) = 2x + y$ nach $y$ ab.
Zu Übungszwecken setzen wir für $x$ eine beliebige Konstante, z. B. $7$, ein.
$$ f(x,y) = 2 \cdot 7 + y $$
Die partielle Ableitung ist folglich
$$ f_y(x,y) = 1 $$
Wie man sieht, ist es gar nicht so schwer, die partiellen Ableitungen einer Funktion zu berechnen. Übrigens ist die Vorstellung, dass die jeweils konstante Variable einem konkreten Wert entspricht nur eine Denkhilfe. In Prüfungen könnt ihr euch Schreibarbeit sparen und einfach direkt ableiten.
Berechne alle partiellen Ableitungen der Funktion $f(x,y) = 2x + 3y$.
Wenn wir die Funktion nach $x$ ableiten, wird $y$ gleich Null.
$$ f_x = 2 + 0 = 2 $$
Wenn wir die Funktion nach $y$ ableiten, wird $x$ gleich Null.
$$ f_y = 0 + 3 = 3 $$
Sind die beiden Variablen $x$ und $y$ multiplikativ verknüpft, kommt die Faktorregel zum Einsatz: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.
Berechne alle partiellen Ableitungen der Funktion $f(x,y) = 5xy$.
Wenn wir die Funktion nach $x$ ableiten, bleibt $y$ erhalten.
$$ f_x = 5y $$
Wenn wir die Funktion nach $y$ ableiten, bleibt $x$ erhalten.
$$ f_y = 5x $$
Partielle Ableitungen höherer Ordnung
Im Zusammenhang mit partiellen Ableitungen spricht man von einer Ableitung 1. Ordnung, wenn einmal abgeleitet wurde. Falls die Funktion jedoch zweimal abgeleitet wurde, spricht man von der partiellen Ableitung 2. Ordnung. Entsprechend berechnet man die 3. und 4. Ordnung (usw.).
$$ f(x,y) = x^2 + xy + 2y^2 $$
Partielle Ableitungen 1. Ordnung berechnen
$$ f_x(x,y) = 2x + y $$
$$ f_y(x,y) = x + 4y $$
Partielle Ableitungen 2. Ordnung berechnen
Wenn man die partielle Ableitung 1. Ordnung ($f_x$) noch einmal nach $x$ (oder nach $y$) ableitet, erhält man die partiellen Ableitungen 2. Ordnung:
$$ f_{xx}(x,y) = 2 $$
$$ f_{xy}(x,y) = 1 $$
Wenn man die partielle Ableitung 1. Ordnung ($f_y$) noch einmal nach $y$ (oder nach $x$) ableitet, erhält man die partiellen Ableitungen 2. Ordnung
$$ f_{yy}(x,y) = 4 $$
$$ f_{yx}(x,y) = 1 $$
Wir stellen fest, dass die Zahl der möglichen Ableitungen höherer Ordnung schnell größer wird. Eine Funktion mit zwei Variablen $(x,y)$ besitzt beispielsweise zwei partielle Ableitungen 1. Ordnung ($f_x$ und $f_y$), vier partielle Ableitungen 2. Ordnung ($f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$ und $f_{yx}$) und acht partielle Ableitungen 3. Ordnung ($f_{xxx}$, $f_{xxy}$, $f_{xyx}$, $f_{xyy}$, $f_{yyy}$, $f_{yyx}$, $f_{yxy}$ und $f_{yxx}$).
Schreibweisen
Je nach Schule oder Universität gibt es im Zusammenhang mit partiellen Ableitungen unterschiedliche Schreibweisen, die aber selbstverständlich dasselbe bedeuten.
Partielle Ableitungen 1. Ordnung
$$ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} $$
Partielle Ableitungen 2. Ordnung
$$ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \qquad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} $$
$$ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \qquad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} $$
Entsprechend lauten die Schreibweisen für partielle Ableitungen 3. Ordnung (usw.).
Ableitungsregeln
Alle bekannten Ableitungsregeln gelten auch für partielle Ableitungen.
Bei den folgenden Beispiele wurde jeweils die Ableitung 1. Ordnung berechnet, d. h. die Funktionen wurden nach jeder Variable einmal abgeleitet.
$$ f(x) = g(x) \pm h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) \pm h'(x) $$
$$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $$
$$ f(x,y) = x^2y \cdot xy^3 $$
$$ \begin{align*} f_x &= 2xy \cdot xy^3 + x^2y \cdot y^3 \\[5px] &= 2x^2y^4 + x^2y^4 \\[5px] &= 3x^2y^4 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} f_y &= x^2 \cdot xy^3 + x^2y \cdot 3xy^2 \\[5px] &= x^3y^3 + 3x^3y^3 \\[5px] &= 4x^3y^3 \end{align*} $$
$$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2} $$
$$ f(x,y) = \frac{2x}{y^2} $$
$$ \begin{align*} f_x &= \frac{y^2 \cdot 2 - 2x \cdot 0}{\left[y^2\right]^2} \\[5px] &= \frac{2y^2 - 2x}{y^4} \\[5px] &= \frac{2(y^2 - x)}{y^4} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} f_y &= \frac{y^2 \cdot 0 - 2x \cdot 2y}{\left[y^2\right]^2} \\[5px] &= \frac{y^2 - 4xy}{y^4} \\[5px] &= \frac{y(y - 4x)}{y^4} \\[5px] &= \frac{y - 4x}{y^3} \end{align*} $$
$$ f(x,y) = (x+2y)^3 $$
| Funktion | Ableitung | |
|---|---|---|
| Äußere Funktion | $g(v) = v^3$ | $g'(v) = 3v^2$ |
| Innere Funktion | $h(x,y) = x+2y$ | $h_x = 1 \text{ und } h_y = 2$ |
$$ \begin{align*} f_x &= 3(x+2y)^2 \cdot 1 \\[5px] &= 3(x+2y)^2 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} f_y &= 3(x+2y)^2 \cdot 2 \\[5px] &= 6(x+2y)^2 \end{align*} $$
