Differenzenquotient
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Differenzenquotient ist.
Einordnung
Bei den linearen Funktionen sind wir zum ersten Mal dem Begriff Steigung einer Funktion
begegnet.
Wir kennen bereits die Steigungsformel,
$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$
mit deren Hilfe man aus zwei beliebigen Punkten $\text{P}_0(x_0|y_0)$ und $\text{P}_1(x_1|y_1)$ die Steigung $m$ der Gerade berechnen kann.
Interessant ist, dass eine Gerade in jedem ihrer Punkte die gleiche Steigung besitzt, $m$ also konstant ist.
Wir merken uns:
Eine Gerade besitzt eine konstante Steigung.
Quadratische Funktionen kennen wir auch schon: Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine spezielle Kurve namens Parabel.
Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie die Steigung einer Kurve (= gekrümmter Graph) definiert ist. Es leuchtet intuitiv ein, dass eine Kurve in zwei beliebigen Punkten $\text{P}_0$ und $\text{P}_1$ – außer in Sonderfällen – eine unterschiedliche Steigung besitzt. Die Steigung $m$ nimmt folglich keinen konstanten Wert an.
Wir merken uns:
Eine Kurve besitzt keine konstante Steigung.
Fraglich bleibt, was man unter der Steigung einer Kurve überhaupt versteht und wie man diese berechnet. Die Antworten auf diese Fragen liefert die Differentialrechnung:
Mithilfe der Differentialrechnung können wir unser Begriffsverständnis einer Steigung von Geraden auf Kurven ausdehnen:
$$ \text{Steigung einer Gerade} ~\xrightarrow{+\text{Differentialrechnung}}~ \text{Steigung einer Kurve} $$
Definition
Im Folgenden wollen wir herausfinden, wie die Steigung einer Kurve definiert ist.
Bloß, wie stellen wir das an?
Idee
Wir wenden das Steigungsdreieck auf eine Kurve an!
Das Steigungsdreieck haben wir erstmals im Kapitel zur Steigung einer linearen Funktion besprochen. Es diente zur Herleitung der Steigungsformel:
$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$
Dabei ist $m$ die Steigung einer Gerade.
Jetzt schauen wir uns an, was passiert, wenn wir das Steigungsdreieck bei einer Kurve zum Einsatz bringen.
Durch diese Punkte ziehen wir eine Gerade.
Eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht, bezeichnet man als Sekante.
Die Formel für die Steigung der Sekante lässt sich wieder über das Steigungsdreick herleiten.
Für die Sekantensteigung $m$ gilt folglich:
$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$
Bei dieser Formel handelt es sich um den gesuchten Differenzenquotienten.
Allerdings ist folgende Schreibweise für den Differenzenquotienten gebräuchlicher:
Es gilt: $y_1 = f(x_1)$ und $y_0 = f(x_0)$.
Der Differenzenquotient lautet folglich:
$$ m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$
Wir merken uns:
Differenzenquotient
$$ m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$
Darüber hinaus gibt es noch eine abkürzende Schreibweise: Diese Schreibweise basiert auf dem Symbol $\Delta$, welches in der Mathematik meist für die Differenz zweier Werte steht.
ist übrigens der griechische Großbuchstabe $\Delta$Delta
.
Es gilt:
$$ \Delta y = y_1 - y_0 $$
$$ \Delta x = x_1 - x_0 $$
Eine abkürzende Schreibweise für den Differenzenquotienten ist demnach:
$$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Seltener schreibt man auch:
$$ m = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} $$
Dabei gilt: $\Delta f(x) = f(x_1) - f(x_0)$
Steigungsformel vs. Differenzenquotient
Steigungsformel
$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$
Abkürzende Schreibweise: $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$
Bedeutung: $m = \text{Geradensteigung}$
Dabei bezieht sich die Steigung auf die gesamte Gerade.
Differenzenquotient
$$ m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$
Abkürzende Schreibweise: $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$
Bedeutung: $m = \text{Sekantensteigung}$
Dabei bezieht sich die Steigung auf die Sekante der Kurve, die durch die Punkte $\text{P}_0(x_0|y_0)$ und $\text{P}_1(x_1|y_1)$ verläuft.
Zusammenfassung
Folgende vier Zusammenhänge sollten jetzt bekannt sein:
Ausführliche Schreibweise
1. $y_1 = f(x_1)$
2. $y_0 = f(x_0)$
$$ \underbrace{m =\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}_{\text{Steigungsformel}} ~~\xrightarrow{y_1 = f(x_1) ~\ \textrm{und}~~ y_0 = f(x_0)}~~ \underbrace{m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}}_{\text{Differenzenquotient}} $$
Abkürzende Schreibweise
3. $\Delta y = y_1 - y_0$
4. $\Delta x = x_1 - x_0$
$$ m = \underbrace{\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}_{\text{Steigungsformel}} = \underbrace{\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}}_{\text{Differenzenquotient}} ~~\xrightarrow[\Delta x ~=~ x_1 - x_0]{\Delta y ~=~ y_1 - y_0}~~ \underbrace{m = \frac{\Delta y}{\Delta x}}_{\text{Abkürzung}} $$
Zusammenfassend kann man sagen, dass sich der Differenzenquotient von der Steigungsformel lediglich durch seine Schreibweise unterscheidet. Sowohl der Differenzenquotient als auch die Steigungsformel bedeuten nämlich letztlich dasselbe: Mit beiden Formeln kann man die Steigung einer Gerade berechnen. Beim Differenzenquotient handelt es sich bei dieser Gerade um eine Sekante, also um eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht.
…und wie ist jetzt die Steigung einer Kurve definiert?
Der Differenzenquotient ist leider nur ein Zwischenschritt auf dem Weg zur Steigung einer Kurve. Im nächsten Kapitel schauen wir uns den Differentialquotienten an, mit dessen Hilfe wir die Steigung einer Kurve endlich definieren können. So viel sei schon einmal verraten: Der Differentialquotient ist der Grenzwert des hier besprochenen Differenzenquotienten!
