Sekantensteigung

In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Sekantensteigung berechnet.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Differenzenquotient

Einordnung

Eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht, heißt Sekante.

Beispiel 1

Gegeben ist eine beliebige Kurve.

0,0

x

y

Abb. 1

Wir wählen zwei Punkte auf der Kurve aus.

0,0

x

y

P_{0}

P_{1}

Abb. 2

Jetzt ziehen wir durch diese beiden Punkte eine Gerade.

Diese Gerade ist dann eine Sekante, weil sie durch zwei Punkte einer Kurve geht.

0,0

x

y

P_{0}

P_{1}

Abb. 3

Im Folgenden lernen wir die Formel kennen, mit deren Hilfe wir die Steigung der Sekante berechnen können.

Formel

Die Formel für die Sekantensteigung erhalten wir über das Steigungsdreieck, dem wir zum ersten Mal bei der Berechnung der Steigung einer linearen Funktion begegnet sind.

Für die Sekantensteigung $m$ gilt folglich:

$m = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}$

Dabei ist $m$ die Steigung der Sekante, die durch die Punkte $P_{0} (x_{0} | y_{0})$ und $P_{1} (x_{1} | y_{1})$ verläuft.

0,0

x

y

P_{0}

x_{0}

y_{0}

P_{1}

x_{1}

y_{1}

x_{1} - x_{0}

y_{1} - y_{0}

Abb. 4

Leider sind für die Formel zur Berechnung der Sekantensteigung verschiedene Schreibweisen verbreitet. Davon darf man sich nicht verunsichern lassen. Im Folgenden werden einige dieser Schreibweisen erwähnt:

Sekantensteigung

$\begin{aligned} m & = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} \\ = \frac{Δ y}{Δ x} \\ = \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} \\ = \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{(x_{0} + Δ x) - x_{0}} = \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} \\ = \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \end{aligned}$

Zur Erinnerung: Das Symbol $Δ$ (Delta) steht in der Mathematik meist für die Differenz zweier Werte. Hier gilt: $Δ y = y_{1} - y_{0}$ und $Δ x = x_{1} - x_{0}$ .

Beispiele

Beispiel 2

Gegeben sind die Funktion $f (x) = x^{2}$ und die beiden Punkte $P_{0} (2 | 4)$ und $P_{1} (3 | 9)$ .

Berechne die Sekantensteigung.

$\begin{aligned} m & = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} \\ = \frac{9 - 4}{3 - 2} \\ = \frac{5}{1} \\ = 5 \end{aligned}$

Die Sekantensteigung ist $m = 5$ .

Beispiel 3

Gegeben sind die Funktion $f (x) = x^{3}$ und die beiden Punkte $P_{0} (2 | 8)$ und $P_{1} (4 | 64)$ .

Berechne die Sekantensteigung.

$\begin{aligned} m & = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} \\ = \frac{64 - 8}{4 - 2} \\ = \frac{56}{2} \\ = 28 \end{aligned}$

Die Sekantensteigung ist $m = 28$ .

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