Sekantensteigung
In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Sekantensteigung berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht, heißt Sekante.
Im Folgenden lernen wir die Formel kennen, mit deren Hilfe wir die Steigung der Sekante berechnen können.
Formel
Die Formel für die Sekantensteigung erhalten wir über das Steigungsdreieck, dem wir zum ersten Mal bei der Berechnung der Steigung einer linearen Funktion begegnet sind.
Für die Sekantensteigung $m$ gilt folglich:
$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$
Dabei ist $m$ die Steigung der Sekante, die durch die Punkte $\text{P}_0(x_0|y_0)$ und $\text{P}_1(x_1|y_1)$ verläuft.
Leider sind für die Formel zur Berechnung der Sekantensteigung verschiedene Schreibweisen verbreitet. Davon darf man sich nicht verunsichern lassen. Im Folgenden werden einige dieser Schreibweisen erwähnt:
Sekantensteigung
$$ \begin{align*} m &= \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \\[5px] &= \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ &= \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \\[5px] &= \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{(x_0 + \Delta x) - x_0} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\ \\ &= \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{align*} $$
Zur Erinnerung: Das Symbol $\Delta$ (Delta
) steht in der Mathematik meist für die Differenz zweier Werte. Hier gilt: $\Delta y = y_1 - y_0$ und $\Delta x = x_1 - x_0$.
Beispiele
Gegeben sind die Funktion $f(x) = x^2$ und die beiden Punkte $\text{P}_0(2|4)$ und $\text{P}_1(3|9)$.
Berechne die Sekantensteigung.
$$ \begin{align*} m &= \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \\[5px] &= \frac{9 - 4}{3 - 2} \\[5px] &= \frac{5}{1} \\[5px] &= 5 \end{align*} $$
Die Sekantensteigung ist $m = 5$.
Gegeben sind die Funktion $f(x) = x^3$ und die beiden Punkte $\text{P}_0(2|8)$ und $\text{P}_1(4|64)$.
Berechne die Sekantensteigung.
$$ \begin{align*} m &= \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \\[5px] &= \frac{64 - 8}{4 - 2} \\[5px] &= \frac{56}{2} \\[5px] &= 28 \end{align*} $$
Die Sekantensteigung ist $m = 28$.
