Steigungsdreieck

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Steigungsdreieck versteht.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen
Steigung einer linearen Funktion berechnen

Einführungsbeispiel

Wenn du schon einmal in den Bergen unterwegs warst, ist dir vielleicht das Verkehrzeichen aus der Abbildung bekannt.

Das Schild weist den Autofahrer darauf hin, dass die Straße eine 12%ige Steigung aufweist. Doch was bedeutet das eigentlich?

Abb. 1

Eine Angabe von $12\ \%$ Steigung bedeutet, dass pro $100\ \textrm{m}$ in waagerechter Richtung die Höhe um $12\ \textrm{m}$ zunimmt.

Es gilt:

$$ \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{12}{100} = 12\ \% $$

Abb. 2

Herleitung

In der Mathematik begegnen wir der Steigung zum ersten Mal im Zusammenhang mit linearen Funktionen. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $y = mx + n$ . Dabei steht $m$ für die Steigung.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Abb. 3

Um die Steigung der Gerade zu berechnen, brauchen wir zunächst zwei beliebige Punkte.

Jetzt müssen wir den Höhenunterschied und den Längenunterschied der Punkte berechnen.

Abb. 4

Um den Höhenunterschied zu berechnen, brauchen wir die $y$ -Koordinaten der Punkte:

$$ \text{Höhenunterschied} = y_1 - y_0 $$

Abb. 5

Um den Längenunterschied zu berechnen, brauchen wir die $x$ -Koordinaten der Punkte:

$$ \text{Längenunterschied} = x_1 - x_0 $$

Abb. 6

Für die Steigung $m$ der Gerade gilt:

$$ m = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$

Die Formel zur Berechnung der Steigung einer Gerade heißt Steigungsformel.

Schau dir die Abbildung noch einmal gut an! Erkennst du das Steigungsdreieck?

Abb. 7

Wir merken uns:

Die Steigung einer Gerade entspricht dem Verhältnis der Seitenlängen des Steigungsdreiecks von Seitenlänge $y$ -Richtung zu Seitenlänge $x$ -Richtung.

$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$

Abb. 8