Steigungswinkel
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Steigungswinkel versteht.
Erforderliches Vorwissen
Einführungsbeispiel
Wenn du schon einmal in den Bergen unterwegs warst, ist dir vielleicht das Verkehrzeichen aus der Abbildung bekannt.
Das Schild weist den Autofahrer darauf hin, dass die Straße eine 12%ige Steigung aufweist. Doch was bedeutet das eigentlich?
Eine Angabe von
Es gilt:
Herleitung
Neben der Steigungsangabe in Prozent gibt es noch die Möglichkeit die Steigung über den Steigungswinkel
Um den Steigungswinkel zu berechnen, bedienen wir uns der Trigonometrie.
Für den Steigungswinkel gilt:
Dabei steht
Berechnung mit dem Taschenrechner
Auf den meisten handelsüblichen Taschenrechnern heißt die Arcustangens-Taste
Steigungswinkel einer Gerade
In der Mathematik begegnen wir der Steigung zum ersten Mal im Zusammenhang mit linearen Funktionen. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet
Im Kapitel zum Steigungsdreieck haben wir gelernt, wie man die Steigung
Die Formel zur Berechnung der Steigung einer Gerade heißt Steigungsformel.
Um den Steigungswinkel
Den Steigungswinkel (in Grad) erhalten wir durch Auflösen der Gleichung nach
Übrigens lässt sich der Steigungswinkel einer Gerade nicht nur im Steigungsdreieck, sondern auch am Schnittpunkt der Gerade mit der
Jetzt verstehen wir auch die Definition, die in vielen Mathematikbüchern steht:
Der Steigungswinkel einer Gerade ist
derjenige im mathematisch positiven Sinn gemessene Winkel
Die Formulierung im mathematisch positiven Sinn
bedeutet dabei gegen den Uhrzeigersinn
.
Sonderfälle
- Ist die Gerade parallel zur
-Achse, gilt . - Ist die Gerade parallel zur
-Achse, gilt .
Steigung ist positiv
Steigung ist negativ
Gegeben ist eine lineare Funktion mit der Funktionsgleichung
Wie groß ist der Steigungswinkel der Gerade?
Die Steigung
Es gilt:
Da die Steigung negativ ist, berechnet man mit der Formel
- negativen Winkel
(= im Uhrzeigersinn) - zwischen der Gerade und der negativen
-Achse.
Steigungswinkel und Schnittwinkel
Eine Gerade schließt mit der
Unter dem Schnittwinkel einer Gerade mit mit der
Der Schnittwinkel wird stets positiv angegeben!
Positive Steigung
Bei einer positiven Steigung stimmt der Schnittwinkel mit der
Negative Steigung
Bei einer negativen Steigung stimmt der Schnittwinkel mit der
In der Abbildung gilt:
= Steigungswinkel = Schnittwinkel mit der -Achse
Mehr dazu im Kapitel zum Schnittwinkel!