Schnittwinkel berechnen (Lineare Funktionen)
In diesem Kapitel lernen wir, den Schnittwinkel zweier Geraden zu berechnen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Lineare Funktionen
- Lage zweier Geraden
Voraussetzung
Ein Schnittwinkel existiert nur, wenn die beiden gegebenen Geraden eine unterschiedliche Steigung besitzen.
$$ g:\: y = {\color{red}2}x + 1 $$
$$ h:\: y = {\color{red}2}x + 3 $$
Die Geraden besitzen dieselbe Steigung.$\Rightarrow$ Es existiert kein Schnittwinkel.
$$ g:\: y = {\color{green}2}x + 1 $$
$$ h:\: y = {\color{green}4}x + 3 $$
Die Geraden besitzen eine unterschiedliche Steigung.$\Rightarrow$ Es existiert ein Schnittwinkel.
Definition
Beim Schnitt zweier Geraden entstehen im Allgemeinen vier Schnittwinkel, von denen je zwei gegenüberliegende gleich groß sind (Scheitelwinkel).
Als Schnittwinkel wird meist der kleinere Winkel (in der Abbildung: $\alpha$) bezeichnet.
Zusatzinformation
Da $\alpha$ und $\beta$ Nebenwinkel sind, gilt:
$$ \alpha + \beta = 180^\circ $$
Ist einer der beiden Winkel bekannt, lässt sich der andere Winkel ohne Probleme berechnen:
$$ \Rightarrow \alpha = 180^\circ - \beta $$
$$ \Rightarrow \beta = 180^\circ - \alpha $$
Formel
Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels lautet
$$ \tan \alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right| $$
Symbolverzeichnis
$\tan$steht für Tangens.$\alpha$ist der Winkel in Grad.$m_1$die Steigung der Gerade$g$und$m_2$die Steigung der Gerade$h$.- Die senkrechten Striche heißen Betragsstriche: Den Betrag einer Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens.
Natürlich gilt auch:
Den Betrag brauchen wir hier, da der Schnittwinkel als positiver Winkel definiert ist.
Den Schnittwinkel erhalten wir durch Auflösen der Gleichung nach $\alpha$:
$$ \alpha = \arctan\left(\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|\right) $$
$\arctan$ steht für Arcustangens. Dabei handelt es sich um die Umkehrfunktion des Tangens.
Berechnung mit dem Taschenrechner
Auf den meisten handelsüblichen Taschenrechnern heißt die Arcustangens-Taste $\tan^{−1}$.
Der Taschenrechner muss bei dieser Berechnung auf DEG (Degree) eingestellt sein.
Sonderfall
Gilt $m_1 \cdot m_2 = - 1$ stehen die Geraden senkrecht (d. h. im $90^\circ$ Winkel) aufeinander.
Die obige Formel führt in diesem Fall aber zu keinem Ergebnis.
Der Nenner wird dadurch nämlich Null und eine Division durch Null ist nicht erlaubt.
Beispiele
Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden
$$ g\colon~y = 0{,}25x + 3 $$
$$ h\colon~y = 2x - 7 $$
Wie groß ist der Schnittwinkel?
$$ \begin{align*} \tan \alpha &= \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right| \\[5px] &= \left|\frac{0{,}25 - 2}{1 + 0{,}25 \cdot 2}\right| \\[5px] &= \left|\frac{-1{,}75}{1{,}5}\right| \\[5px] &= \left|-\frac{7}{6}\right| \\[5px] &= \frac{7}{6} \end{align*} $$
$$ \alpha = \arctan\left(\frac{7}{6}\right) \approx 49{,}4^\circ $$
Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden
$$ g\colon~y = -0{,}5x + 5 $$
$$ h\colon~y = \phantom{-}0{,}5x + 1 $$
Wie groß ist der Schnittwinkel?
$$ \begin{align*} \tan \alpha &= \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right| \\[5px] &= \left|\frac{-0{,}5 - 0{,}5}{1 + (-0{,}5) \cdot 0{,}5}\right| \\[5px] &= \left|\frac{-1}{0{,}75}\right| \\[5px] &= \left|-\frac{4}{3}\right| \\[5px] &= \frac{4}{3} \end{align*} $$
$$ \alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}1^\circ $$
Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen
Es lohnt sich, zunächst das Kapitel zum Steigungswinkel zu lesen.
Die Gerade bildet mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck. Die Winkelsumme im Dreieck ist:
$$ \alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ $$
$\alpha$ = Schnittwinkel mit $x$-Achse$\beta$ = Schnittwinkel mit $y$-Achse
Schnittwinkel einer Gerade mit der $\boldsymbol{x}$-Achse
$$ \alpha = \arctan(|m|) $$
Schnittwinkel einer Gerade mit der $\boldsymbol{y}$-Achse
$$ \beta = 180^\circ - 90^\circ - \alpha $$
