Funktionsgleichung einer linearen Funktion
In diesem Kapitel lernen wir, die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu bestimmen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Lineare Funktionen
Einordnung
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$$ y = mx + n $$
heißt lineare Funktion.
Dabei ist $m$ die Steigung und $n$ der $y$-Achsenabschnitt.
In manchen Aufgaben ist die Funktionsgleichung gesucht. Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aufzustellen, brauchen wir die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $n$.
Gegeben sei die Steigung $m = {\color{red}{-2}}$ und der $y$-Achsenabschnitt $n = {\color{blue}{3}}$ einer linearen Funktion.
Stelle die Funktionsgleichung der linearen Funktion auf.
$$ y = {\color{red}{-2}}x + {\color{blue}{3}} $$
Leider lässt sich in den wenigsten Fällen die Funktionsgleichung so einfach aufstellen wie in dem obigen Beispiel. Meist ist entweder die Steigung, der $y$-Achsenabschnitt oder beides zu berechnen.
Punkt und Steigung gegeben
$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt berechnen
Funktionsgleichung aufstellen
Gegeben ist der Punkt $P(2|0)$ und die Steigung $m = \frac{1}{2}$.
$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt berechnen
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein
$$ y = mx + n $$
Für $m$ setzen wir die gegebene Steigung und für $x$ und $y$ die Koordinaten des gegebenen Punktes ein:
$$ 0 = \frac{1}{2} \cdot 2 + n $$
$$ 0 = 1 + n $$
$$ n = -1 $$
Funktionsgleichung aufstellen
Wir setzen $m = \frac{1}{2}$ und $n = -1$ in die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer linearen Funktionen ein und erhalten:
$$ \begin{align*} y &= mx + n \\[5px] &= \frac{1}{2}x - 1 \end{align*} $$
Punkt und y-Achsenabschnitt gegeben
Steigung berechnen
Funktionsgleichung aufstellen
Gegeben ist der Punkt $P(2|0)$ und der $y$-Achsenabschnitt $n = -1$.
Steigung berechnen
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein
$$ y = mx + n $$
Für $n$ setzen wir den gegebenen $y$-Achsenabschnitt und für $x$ und $y$ die Koordinaten des gegebenen Punktes ein:
$$ 0 = m \cdot 2 - 1 $$
$$ 1 = 2m $$
$$ m = \frac{1}{2} $$
Funktionsgleichung aufstellen
Wir setzen $m = \frac{1}{2}$ und $n = -1$ in die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer linearen Funktionen ein und erhalten:
$$ \begin{align*} y &= mx + n \\[5px] &= \frac{1}{2}x - 1 \end{align*} $$
Zwei Punkte gegeben
Steigung berechnen
$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt berechnen
Funktionsgleichung aufstellen
Gegeben sind die beiden Punkte
$$ P_1(-2|{-2}) $$
$$ P_2(2|0) $$
Im Folgenden schauen wir uns an, wie man die Funktionsgleichung für die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht, bestimmt.
Steigung berechnen
Aus dem letzten Kapitel (Steigung einer linearen Funktion berechnen) kennen wir die Formel zur Berechnung der Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind:
$$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$
Durch Einsetzen der gegebenen Punktkoordinaten erhalten wir:
$$ \begin{align*} m &= \frac{0 - (-2)}{2 - (-2)} \\[5px] &= \frac{2}{4} \\[5px] &= \frac{1}{2} \end{align*} $$
$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt berechnen
Wir wissen, dass die allgemeine Form einer linearen Funktion folgendermaßen aussieht:
$$ y = mx + n $$
Für $m$ setzen wir die eben berechnete Steigung und für $x$ und $y$ die Koordinaten eines der gegebenen Punkte (hier: $P_2(2|0)$) ein:
$$ 0 = \frac{1}{2}\cdot 2 + n $$
$$ 0 = 1 + n $$
$$ n = -1 $$
Alternativ können wir auch den anderen Punkt $P_1(-2|{-2})$ einsetzen, was zu demselben Ergebnis führt:
$$ -2 = \frac{1}{2}\cdot (-2) + n $$
$$ -2 = -1 + n $$
$$ n = -1 $$
Funktionsgleichung aufstellen
Wir setzen $m = \frac{1}{2}$ und $n = -1$ in die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer linearen Funktionen ein und erhalten:
$$ \begin{align*} y &= mx + n \\[5px] &= \frac{1}{2}x - 1 \end{align*} $$
Graph gegeben
$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt ablesen
Steigung mithilfe eines Steigungsdreicks berechnen
Funktionsgleichung aufstellen
zu 2)
Hauptkapitel: Steigungsdreieck
Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion.
$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt ablesen
Der $y$-Achsenabschnitt ist die $y$-Koordinate des Schnittpunktes des Graphen mit der $y$-Achse.
Wir lesen ab: $n = -1$.
Jetzt fehlt nur noch die Steigung.
Steigung mithilfe eines Steigungsdreicks berechnen
Zunächst wählen wir zwei beliebige Punkte aus.
Mithilfe der beiden Punkte können wir ein Steigungsdreieck aufstellen:
Graphisch erhalten wir die erste Seite, indem wir in $x$-Richtung von $P_1$ bis $P_2$ gehen.
Rechnerisch erhalten wir die Seitenlänge, indem wir von der $x$-Koordinate des zweiten Punktes ($x_2$) die $x$-Koordinate des ersten Punktes ($x_1$) abziehen:
$$ x = x_2 - x_1 = 2 - (-2) = 4 $$
Graphisch erhalten wir die zweite Seite, indem wir in $y$-Richtung bis $P_2$ gehen.
Rechnerisch erhalten wir die zweite Seitenlänge, indem wir von der $y$-Koordinate des zweiten Punktes ($y_2$) die $y$-Koordinate des ersten Punktes ($y_1$) abziehen:
$$ y = y_2 - y_1 = 0 - (-2) = 2 $$
Für die Steigung der linearen Funktion gilt
$$ m = \frac{y}{x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
Mehr zur graphischen Ermittlung der Steigung erfährst du im vorhergehenden Kapitel (Steigung berechnen).
Funktionsgleichung aufstellen
Wir setzen $m = \frac{1}{2}$ und $n = -1$ in die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer linearen Funktionen ein und erhalten:
$$ \begin{align*} y &= mx + n \\[5px] &= \frac{1}{2}x - 1 \end{align*} $$
