Asymptoten
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Asymptote ist. Dabei beschränken wir uns auf Asymptoten, die im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen auftreten.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Eine Funktion, der sich eine andere Funktion bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert, heißt Asymptote.
Arten
Bei gebrochenrationalen Funktionen spielen folgende vier Arten eine Rolle:
* Eine senkrechte Asymptote ist ein Sonderfall, da es sich dabei nicht um den Graphen einer Funktion handelt. Eine Funktion liegt nämlich nur dann vor, wenn jedem $x \in \mathbb{D}$ genau ein $y \in \mathbb{W}$ zugeordnet ist. Eine Senkrechte dagegen ordnet einem $x$ unendlich viele $y$ zu.
Senkrechte Asymptote
Waagrechte Asymptote
Schiefe Asymptote
Asymptotische Kurve
Berechnung
Die folgende Tabelle nennt für jede Asymptotenart die Bedingung, die erfüllt sein muss, damit die Asymptote existiert.
| Asymptote | Bedingung |
|---|---|
| Senkrechte Asymptote | Nullstellen des Nenners (Definitionslücken) |
| Waagrechte Asymptote | Zählergrad < Nennergrad oder Zählergrad = Nennergrad |
| Schiefe Asymptote | Zählergrad = Nennergrad + 1 |
| Asymptotische Kurve | Zählergrad > Nennergrad + 1 |
In den nächsten Kapiteln schauen wir uns für jede der oben genannten Asymptoten ein Berechnungsverfahren an.
