Nullstellen (Gebrochenrationale Funktionen)
In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist eine Nullstelle?
- Gebrochenrationale Funktionen
Bedingung
Eine gebrochenrationale Funktion
$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$
besitzt an der Stelle $x_0$ eine Nullstelle, wenn gilt
$$ P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0 $$
Anleitung
Nullstellen der Zählerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
Nullstellen der Zählerfunktion in die Nennerfunktion einsetzen
Ergebnis interpretieren
Beispiele
Berechne die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion
$$ f(x) = \frac{x-1}{x-2} $$
Nullstellen der Zählerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ x - 1 = 0 $$
Gleichung lösen
$$ \begin{align*} x - 1 &= 0 &&|\, +1 \\[5px] x = 1 \end{align*} $$
Nullstellen der Zählerfunktion in die Nennerfunktion einsetzen
$$ \begin{align*} Q(1) &= 1 - 2 \\[5px] &= -1 \neq 0 \end{align*} $$
Ergebnis interpretieren
Da die Nullstelle des Zählers nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Nenners ist, handelt es sich bei $x = 1$ um eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion.
Graphische Darstellung
Berechne die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion
$$ f(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2} $$
Nullstellen der Zählerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ x - 1 = 0 $$
Gleichung lösen
$$ \begin{align*} x - 1 &= 0 &&|\, +1 \\[5px] x = 1 \end{align*} $$
Nullstellen der Zählerfunktion in die Nennerfunktion einsetzen
$$ \begin{align*} Q(1) &= (1 - 1)^2 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$
Zur Erinnerung: Die Nullstellen der Nennerfunktion einer gebrochenrationalen Funktion sind Definitionslücken. An diesen Stellen befindet sich eine senkrechte Asymptote.
Ergebnis interpretieren
Da die Nullstelle des Zählers gleichzeitig eine Nullstelle des Nenners ist, handelt es sich bei $x = 1$ nicht um eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion.
Graphische Darstellung
