Asymptotische Kurve
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine asympotische Kurve ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Eine Kurve, der sich eine andere Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert, heißt asymptotische Kurve.
Bedingung
Eine gebrochenrationale Funktion
$$ y = \frac{a_n x^{\fcolorbox{Red}{}{$n$}} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^{\fcolorbox{Red}{}{$m$}} + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0} $$
besitzt eine asymptotische Kurve, wenn
Zählergrad > Nennergrad + 1 ($n > m + 1$)
(Zählergrad um mehr als
)$1$ größer als der Nennergrad
Anleitung
Zählergrad und Nennergrad bestimmen
Polynomdivision
Grenzwertbetrachtung
zu 1)
Wir prüfen, ob die Bedingung für eine asymptotische Kurve erfüllt ist.
zu 2)
Die Gleichung der asymptotischen Kurve erhalten wir, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen. Dabei handelt es sich um eine Polynomdivision.
zu 3)
Hauptkapitel: Grenzwert und Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion
Beispiel
Überprüfe, ob die gebrochenrationale Funktion
$$ f(x) = \frac{x^3 + 1}{x - 1} $$
eine asymptotische Kurve hat und gib diese ggf. an.
Zählergrad und Nennergrad bestimmen
Da der Zählergrad ($3$) um mehr als eine Einheit größer ist als der Nennergrad ($1$), besitzt die gebrochenrationale Funktion eine asymptotische Kurve.
Polynomdivision
$$ \begin{array}{l} \quad x^3 \qquad \qquad \: \: + 1:(x - 1)= {\color{red}x^2 + x + 1}+{\color{blue}\frac{2}{x-1}} \\ -(x^3 - x^2) \\ \qquad \quad \: \: x^2 \\ \qquad \: \: -(x^2-x) \\ \qquad\qquad \quad \: \: \: \: x + 1 \\ \qquad\qquad \: \: \: -(x-1) \\ \qquad\qquad\qquad \quad \: \: 2 \end{array} $$
Grenzwertbetrachtung
Da der Nennergrad des Bruchs (ganz rechts im Ergebnis der Polynomdivision) größer ist als der Zählergrad, wird dieser Restterm für sehr große $x$-Werte immer kleiner und nähert sich Null an:
$$ \lim_{x\to \pm\infty}\left({\color{blue}\frac{2}{x-1}}\right) = 0 $$
Der Graph der Funktion strebt deshalb gegen die asymptotische Kurve mit der Gleichung
$$ y = {\color{red}x^2 + x + 1} $$
Dabei handelt es sich in diesem Fall um eine Parabel, also den Graphen einer quadratischen Funktion.
Graphische Darstellung
