Partialbruchzerlegung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Partialbruchzerlegung ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Angelehnt an die Definition eines echten Bruchs gilt:
Eine gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, deren Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, heißt echt gebrochen.
$$ f(x) = \frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} $$
$$ \text{Zählergrad 2} < \text{ Nennergrad 3} $$
Angelehnt an die Definition eines unechten Bruchs gilt:
Eine gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, deren Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist, heißt unecht gebrochen.
$$ f(x) = \frac{x^3 - 4x^2 - 29x - 26}{x+3} $$
$$ \text{Zählergrad 3} > \text{ Nennergrad 1} $$
Jede unecht gebrochenrationale Funktion lässt sich durch Polynomdivision als Summe einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochenrationalen Funktion darstellen.
Anleitung
Polynomdivision (falls Funktion unecht gebrochen!)
Nullstellen der Nennerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
Jeder Nullstelle ihren Partialbruch zuordnen
Ansatz zur Partialbruchzerlegung aufstellen
Koeffizienten bestimmen
Brüche gleichnamig machen
Brüche addieren
Zähler ausmultiplizieren
Zähler nach Potenzen von $x$ zusammenfassen
Gleichungssystem durch Koeffizientenvergleich aufstellen
Gleichungssystem lösen
Lösungen in den Ansatz zur Partialbruchzerlegung einsetzen
zu 1)
Falls die gegebene gebrochenrationale Funktion unecht gebrochen ist, führen wir eine Polynomdivision durch. Dabei entsteht eine ganzrationale und eine echt gebrochenrationale Funktion. Letztere lässt sich noch in Partialbrüche zerlegen (siehe Schritte 2-5).
zu 2)
Bei der Berechnung der Nullstellen der Nennerfunktion hat man es oft mit einer kubischen Gleichung zu tun. Diese lässt sich mithilfe der Polynomdivision zu einer quadratischen Gleichung vereinfachen.
Quadratische Gleichungen lösen wir gewöhnlich mithilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel. Dabei kann es zu zwei (einfachen) reellen Lösungen, einer (zweifachen) reellen Lösung oder keiner reellen Lösung kommen. Welcher Fall vorliegt, lässt sich bereits an der Diskriminante erkennen.
Wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, gibt es keine reelle Lösung. Die Berechnung einer komplexen Lösung kann man sich allerdings sparen, weil in diesem Fall dem quadratischen Term $x^2 + px + q$ einfach direkt ein Partialbruch zugeordnet wird.
zu 3)
Jeder Nullstelle des Nenners wird ein Partialbruch in folgender Weise zugeordnet:
| Art der Nullstelle | Partialbruch |
|---|---|
a) Reelle Nullstelle $\boldsymbol{x_1}$ | |
| Einfache Nullstelle | $\frac{A}{x - x_1}$ |
| Zweifache Nullstelle | $\frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2}$ |
$\vdots$ | $\vdots$ |
$r$-fache Nullstelle | $\frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2} + \dots + \frac{A_r}{(x - x_1)^r}$ |
| b) Nichtreelle Nullstelle | |
Einfacher quadratischer Term$(x^2 + px + q)$ | $\frac{Ax + B}{x^2 + px + q}$ |
Zweifacher quadratischer Term$(x^2 + px + q)^2$ | $\frac{A_{1}x + B_{1}}{x^2 + p_{1}x + q_{1}} + \frac{A_{2}x + B_{2}}{(x^2 + p_{1}x + q_{1})^2}$ |
$\vdots$ | $\vdots$ |
$r$-facher quadratischer Term$(x^2 + px + q)^r$ | $\frac{A_{1}x + B_{1}}{x^2 + p_{1}x + q_{1}} + \frac{A_{2}x + B_{2}}{(x^2 + p_{1}x + q_{1})^2} + \dots + \frac{A_{r}x + B_{r}}{(x^2 + p_{1}x + q_{1})^r}$ |
zu 4)
Die echt gebrochenrationale Funktion ist als Summe aller Partialbrüche darstellbar.
Beispiel
Führe für die Funktion $f(x) = \frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}$ eine Partialbruchzerlegung durch.
Polynomdivision
Da die Funktion echt gebrochen ist (Zählergrad $2$ < Nennergrad $3$), können wir an dieser Stelle auf eine Polynomdivision verzichten.
Nullstellen der Nennerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ x^3 + 3x^2 + 6x + 4 = 0 $$
Gleichung lösen
Wir haben es hier mit einer kubischen Gleichung zu tun.
Durch systematisches Raten finden wir die Nullstelle $x_1 = -1$.
Jetzt können wir eine Polynomdivision durchführen:
$$ (x^3 + 3x^2 + 6x + 4):(x+1) = x^2 + 2x + 4 $$
Bei $x^2 + 2x + 4 = 0$ handelt es sich um eine quadratische Gleichung, die wir z. B. mithilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel lösen können.
Wir lösen die quadratische Gleichung mithilfe der pq-Formel:
$$ x_{2, 3} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-4} $$
$$ \phantom{x_{1, 2}} = -1 \pm \sqrt{-3} $$
Da die Diskriminante kleiner Null ist, besitzt die quadratische Gleichung keine reelle Lösung.
Jeder Nullstelle ihren Partialbruch zuordnen
$-1$ ist eine einfache reelle Nullstelle $\Rightarrow$ $\frac{A}{x + 1}$
$x^2 + 2x + 4$ ist ein einfacher quadratischer Term $\Rightarrow$ $\frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4}$
Ansatz zur Partialbruchzerlegung aufstellen
$$ \frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} $$
Koeffizienten bestimmen
Brüche gleichnamig machen
$$ \frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} = \frac{A(x^2 + 2x + 4)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{(Bx + C)(x+1)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$
Brüche addieren
$$ \phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{A(x^2 + 2x + 4)+(Bx + C)(x+1)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$
Zähler ausmultiplizieren
$$ \phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{Ax^2 + 2Ax + 4A + Bx^2 + Bx + Cx + C}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$
Zähler nach Potenzen von $x$ zusammenfassen
$$ \phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{Ax^2 + Bx^2 + 2Ax + Bx + Cx + 4A + C}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$
$$ \phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{x^2(A+B) + x(2A+B+C) + (4A + C)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$
Gleichungssystem durch Koeffizientenvergleich aufstellen
Aus
$$ \frac{{\color{red}5}x^2 + {\color{green}8}x + {\color{blue}9}}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} = \frac{x^2({\color{red}A+B}) + x({\color{green}2A+B+C}) + ({\color{blue}4A + C})}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$
ergibt sich das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} {\color{red}A + B} &= {\color{red}5} \\ {\color{green}2A + B + C} &= {\color{green}8} \\ {\color{blue}4A + C} &= {\color{blue}9} \end{align*} $$
oder abgekürzt als erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben
$$ \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 1 & 8 \\ 4 & 0 & 1 & 9 \end{array} \right) $$
Gleichungssystem lösen
Das lineare Gleichungssystem können wir z. B. mithilfe des Gauß-Algorithmus lösen.
Die Lösungen sind $A = 2$, $B = 3$ und $C = 1$.
Lösungen in den Ansatz zur Partialbruchzerlegung einsetzen
Die Lösungen des Gleichungssystems setzen wir in die Formel aus Schritt 4 ein:
$$ \frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} $$
$$ \phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3x + 1}{x^2 + 2x + 4} $$
Damit ist die Partialbruchzerlegung abgeschlossen!
