Unechter Bruch
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein unechter Bruch (uneigentlicher Bruch) ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein Bruch?
Definition I
In der Schule definiert man einen unechten Bruch meist folgendermaßen:
Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist:
$$ \text{Zähler} \geq \text{Nenner} $$
Veranschaulichung
Unechte Brüche veranschaulicht
Fall 1
$\text{Zähler} = \text{Nenner}$$\Rightarrow$ Eine ganze Torte (z. B. $\frac{4}{4}$)
Fall 2
$\text{Zähler} > \text{Nenner}$$\Rightarrow$ Mehr als eine ganze Torte (z. B. $\frac{5}{4}$)
Anders formuliert:
Wird ein unechter Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt, so ist das Ergebnis immer größer oder gleich 1,0.
Echte Brüche veranschaulicht
$$ \text{Zähler} < \text{Nenner} $$
$\Rightarrow$ Weniger als eine ganze Torte (z. B. $\frac{1}{4}$)
Anders formuliert:
Wird ein echter Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt, so ist das Ergebnis immer kleiner als 1,0.
Definition II
$-\frac{2}{2}$ oder $-\frac{7}{5}$ sind selbstverständlich auch unechte Brüche.
Damit das gilt, müssen wir die Definition umformulieren zu:
Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Betrag des Zählers größer oder gleich dem des Nenners ist:
$$ |\text{Zähler}| \geq |\text{Nenner}| $$
Den Betrag einer reellen Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens.
Schreibweise
Der Betrag einer Zahl $x$ wird meist mit $|x|$ bezeichnet.
Erklärung
Aus dem Kapitel Brüche wissen wir, dass man $-\frac{7}{5}$ auch als $\frac{7}{-5}$ oder $\frac{-7}{5}$ schreiben kann. Prüfen wir allerdings den Bruch $\frac{-7}{5}$ darauf, ob er nach der schulischen Definition (Zähler $\geq$ Nenner) ein unechter Bruch ist, stellen wir fest: $-7 < 5$ - also $\frac{-7}{5}$ ist echter Bruch. Dagegen wäre $\frac{7}{-5}$ wegen $7 > -5$ ein unechter Bruch. Ein Ausweg aus diesem Dilemma schafft die Definition über den Betrag, da gilt: $\frac{|-7|}{|5|} = \frac{|7|}{|-5|} = \frac{7}{5}$ und damit $7 > 5$, d. h. bei $\frac{7}{-5}$ und $\frac{-7}{5}$ handelt es sich in beiden Fällen um unechte Brüche!
$\frac{2}{-2}$ ist ein unechter Bruch, da $|2| = |-2|$ (d. h. $2 = 2$).
$\frac{-2}{2}$ ist ein unechter Bruch, da $|-2| = |2|$ (d. h. $2 = 2$).
Wegen $-\frac{2}{2} = \frac{2}{-2} = \frac{-2}{2}$ gilt:
$-\frac{2}{2}$ ist ein unechter Bruch.
Unechte Brüche umwandeln
Unechte Brüche, bei denen der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist, lassen sich in ganze Zahlen umwandeln.
Diese Brüche nennt man auch Scheinbrüche.
Unechte Brüche, bei denen der Zähler kein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist, lassen sich in gemischte Zahlen umwandeln.
