Kurvendiskussion - Ganzrationale Funktion
In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer ganzrationalen Funktion durch.
Gegeben sei die ganzrationale Funktion
$$ f(x) = x^3-6x^2+8x $$
Wir sollen eine möglichst umfassende Kurvendiskussion durchführen.
Ableitungen
Hauptkapitel: Ableitung
Wir berechnen zunächst die ersten drei Ableitungen der Funktion, weil wir diese im Folgenden immer wieder brauchen.
Um die Ableitungen einer ganzrationalen Funktion zu berechnen, brauchen wir lediglich die
Gegebene Funktion
$$ f(x) = x^3-6x^2+8x $$
1. Ableitung
$$ f'(x) = 3x^2-12x+8 $$
2. Ableitung
$$ f''(x) = 6x-12 $$
3. Ableitung
$$ f'''(x) = 6 $$
Definitionsbereich
Hauptkapitel: Definitionsbereich bestimmen
Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:Welche
$x$-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?
Der Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion ist immer $\mathbb{R}$.
Für unsere Aufgabe gilt also: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.
Nullstellen
Hauptkapitel: Nullstellen berechnen
1) Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ x^3-6x^2+8x = 0 $$
2) Gleichung lösen
Durch Ausklammern von $x$ können wir den Funktionsterm faktorisieren:
$$ \begin{align*} x^3-6x^2+8x &= 0 \\[5px] x(x^2-6x+8) &= 0 \end{align*} $$
Der Satz vom Nullprodukt besagt:Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
1. Faktor
$$ x = 0 $$
$$ \Rightarrow x_1 = 0 $$
2. Faktor
$$ x^2-6x+8 = 0 $$
Hierbei handelt es sich um eine quadratische Gleichung, die wir z. B. mithilfe der Mitternachtsformel lösen können:
$$ \begin{align*} x_{2, 3} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a} \\[5px] &= \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \\[5px] &= \frac{6 \pm 2}{2} \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ \Rightarrow x_{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2 $$
$$ \Rightarrow x_{3} = \frac{6 + 2}{2} = 4 $$
Die Funktion hat Nullstellen bei $x_1 = 0$, $x_2 = 2$ und $x_3 = 4$.
y-Achsenabschnitt
Hauptkapitel: $y$-Achsenabschnitt berechnen
Der $y$-Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle $x=0$.
Wir berechnen also $f(0)$:
$$ f({\color{red}0}) = {\color{red}0}^3-6 \cdot {\color{red}0}^2+8 \cdot {\color{red}0} = 0 $$
Der $y$-Achsenabschnitt ist bei $y = 0$.
Grenzwerte
Hauptkapitel: Grenzwerte
Verhalten im Unendlichen
Für sehr große Werte strebt die Funktion gegen + unendlich
:
$$ \lim_{x\to +\infty}\left(x^3-6x^2+8x\right) = +\infty $$
Für sehr kleine Werte strebt die Funktion gegen - unendlich
:
$$ \lim_{x\to -\infty}\left(x^3-6x^2+8x\right) = -\infty $$
Wertebereich
Hauptkapitel: Wertebereich
Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:Welche
$y$-Werte kann die Funktion annehmen?
Wie gerade gezeigt wurde, kann die Funktion jeden Wert von $-\infty$ bis $+\infty$ annehmen.
Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: $\mathbb{W}_f = \mathbb{R}$
Symmetrie
Hauptkapitel: Symmetrieverhalten
Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse
$$ f(-x) = f(x) $$
Punktsymmetrie zum Ursprung
$$ f(-x) = -f(x) $$
Wir setzen $-x$ in die Funktion
$$ f(x) = x^3-6x^2+8x $$
ein und erhalten:
$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^3-6 \cdot ({\color{red}-x})^2+8 \cdot ({\color{red}-x}) = -x^3-6x^2-8x $$
Danach analysieren wir das Ergebnis:
$$ -x^3-6x^2-8x \neq f(x) $$
$$ -x^3-6x^2-8x \neq -f(x) $$
$\Rightarrow$ Die Funktion ist weder zur $y$-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.
Extrempunkte
Hauptkapitel: Extremwerte berechnen
Für einen Hochpunkt gilt:$f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) < 0$
Für einen Tiefpunkt gilt:$f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) > 0$
1) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
1.1) Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen
$$ 3x^2-12x+8 = 0 $$
1.2) Gleichung lösen
Hierbei handelt es sich um eine quadratische Gleichung, die wir z. B. mithilfe der Mitternachtsformel lösen können:
$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3} \\[5px] &= \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} \\[5px] &= \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ {\color{red}x_1} = \frac{12 - 4\sqrt{3}}{6} = {\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}} \approx 0{,}85 $$
$$ {\color{red}x_2} = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{6} = {\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}} \approx 3{,}15 $$
2) Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen
Nun setzen wir die berechneten Werte in die 2. Ableitung
$$ f''(x) = 6x-12 $$
ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden:
$$ f''({\color{red}x_1}) = f''\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right) = 6\cdot {\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}-12 = -4\sqrt{3} \approx -6{,}93 < 0 $$
$$ f''({\color{red}x_2}) = f''\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right) = 6\cdot {\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}-12 = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93 > 0 $$
Wir wissen jetzt, dass an der Stelle $x_1$ ein Hochpunkt und an der Stelle $x_2$ ein Tiefpunkt vorliegt.
3) $\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Extrempunkte berechnen
Zu guter Letzt müssen wir noch die $y$-Werte der beiden Punkte berechnen.
Dazu setzen wir $x_1$ bzw. $x_2$ in die ursprüngliche (!) Funktion
$$ f(x) = x^3-6x^2+8x $$
ein und erhalten:
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_1}) &= f\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right) \\[5px] &= \left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right)^3-6\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right)^2+8 \cdot {\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}} \\[5px] &= {\color{blue}\frac{16\sqrt{3}}{9}} \\[5px] &\approx 3{,}08 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_2}) &= f\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right) \\[5px] &= \left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right)^3-6\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right)^2+8 \cdot {\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}} \\[5px] &= {\color{blue}-\frac{16\sqrt{3}}{9}} \\[5px] &\approx -3{,}08 \end{align*} $$
Wir halten fest:
Hochpunkt $H\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}|{\color{blue}\frac{16\sqrt{3}}{9}}\right)$
Tiefpunkt $T\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}|{\color{blue}-\frac{16\sqrt{3}}{9}}\right)$
Monotonieverhalten
Hauptkapitel: Monotonieverhalten
Die Funktion $f$ ist streng monoton zunehmend, wenn $f'(x) > 0$ gilt.
Die Funktion $f$ ist streng monoton abnehmend, wenn $f'(x) < 0$ gilt.
Das Monotonieverhalten lässt sich leicht aus den eben berechneten Extremwerten folgern:
$$ \begin{array}{c|ccc} & \left]-\infty;\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}\right[ & \left]\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3};\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}\right[ & \left]\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3};\infty\right[ \\ \hline f'(x) & + & - & + \\ & \text{s. m. steigend} & \text{s. m. fallend} & \text{s. m. steigend} \end{array} $$
- Im 1. Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion bis zum Hochpunkt steigt.
- Im 2. Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, weil die Funktion zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt fällt.
- Im 3. Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion ab dem Tiefpunkt wieder steigt.
Krümmung
Hauptkapitel: Krümmungsverhalten
Der Graph ist linksgekrümmt, wenn $f''(x) > 0$ gilt.
Der Graph ist rechtsgekrümmt, wenn $f''(x) < 0$ gilt.
Wann ist die 2. Ableitung größer Null?
$$ 6x-12 > 0 $$
Um diese Frage zu beantworten, lösen wir die Ungleichung nach $x$ auf:
$$ \begin{align*} 6x - 12 &> 0 &&|\, +12 \\[5px] 6x &> 12 &&|\, :6 \\[5px] x &> \frac{12}{6} \\[5px] x &> 2 \end{align*} $$
$\Rightarrow$ Für $x > 2$ ist der Graph linksgekrümmt.$\Rightarrow$ Für $x < 2$ ist der Graph rechtsgekrümmt.
Wendepunkt und Wendetangente
Hauptkapitel: Wendepunkt und Wendetangente
Für einen Wendepunkt gilt:$f''(x_0) = 0$ und $f'''(x_0) \neq 0$
1) Nullstellen der 2. Ableitung berechnen
1.1) Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen
$$ 6x - 12 = 0 $$
1.2) Gleichung lösen
$$ \begin{align*} 6x - 12 &= 0 &&|\, +12 \\[5px] 6x &= 12 &&|\, :6 \\[5px] x &= \frac{12}{6} \\[5px] x &= 2 \end{align*} $$
2) Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen
$$ f'''(2) = 6 \neq 0 $$
Daraus folgt, dass an der Stelle $x = 2$ ein Wendepunkt vorliegt.
3) $\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Wendepunkte berechnen
Jetzt setzen wir $x = 2$ in die ursprüngliche Funktion
$$ f(x) = x^3-6x^2+8x $$
ein, um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen:
$$ f({\color{red}2}) = {\color{red}2}^3-6\cdot {\color{red}2}^2+8 \cdot {\color{red}2} = {\color{blue}0} $$
$\Rightarrow$ Der Wendepunkt hat die Koordinaten $({\color{red}2}|{\color{blue}0})$.
Gleichung der Wendetangente
$$ t_w\colon\; y = m \cdot (x - x_0) + y_0 $$
Dabei sind $x_0$ und $y_0$ die Koordinaten des Wendepunktes.
$m$ ist die Steigung der Tangente.
Da wir $x_0$ und $y_0$ eben berechnet haben, müssen wir lediglich noch die Steigung $m$ ermitteln. Dazu setzen wir die $x$-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung
$$ f'(x) = 3x^2-12x+8 $$
ein und erhalten:
$$ m = f'({\color{red}2}) = 3 \cdot {\color{red}2}^2-12 \cdot {\color{red}2}+8 = {\color{green}-4} $$
Die Gleichung der Wendetangente ist folglich:
$$ t_w\colon\; y = {\color{green}-4} \cdot (x - {\color{red}2}) + {\color{blue}0} = -4x + 8 $$
Graph
Hauptkapitel: Graph zeichnen
