Kurvendiskussion - Logarithmusfunktion
In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer Logarithmusfunktion durch.
Gegeben sei die Logarithmusfunktion
$$ f(x) = x \cdot \ln x $$
Wir sollen eine möglichst umfassende Kurvendiskussion durchführen.
Ableitungen
Hauptkapitel: Ableitung
Wir berechnen zunächst die ersten beiden Ableitungen der Funktion, weil wir diese im Folgenden immer wieder brauchen.
Für unser Beispiel brauchen wir die
$$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)} $$
Es lohnt sich, zunächst das Kapitel Ableitung Logarithmus zu lesen.
Gegebene Funktion
$$ f(x) = x \cdot \ln x $$
1. Ableitung
$$ \begin{align*} f'(x) &= {\color{red}1} \cdot \ln x + x \cdot {\color{red}\frac{1}{x}} \\[5px] &= \ln x + 1 \end{align*} $$
2. Ableitung
$$ f''(x) = \frac{1}{x} $$
Definitionsbereich
Hauptkapitel: Definitionsbereich bestimmen
Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:Welche
$x$-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?
Logarithmusfunktionen sind nur in $\mathbb{R}^{+}$ definiert.
Für unsere Aufgabe gilt also: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{+}$.
Nullstellen
Hauptkapitel: Nullstellen berechnen
1) Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ x \cdot \ln x = 0 $$
2) Gleichung lösen
Der Satz vom Nullprodukt besagt:Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
1. Faktor
$$ x = 0 $$
Da $x = 0$ nicht zur Definitionsmenge gehört, handelt es sich hierbei nicht um eine Nullstelle.
2. Faktor
$$ \ln x = 0 $$
Die Logarithmusfunktion hat bei $x = 1$ eine Nullstelle.
$\Rightarrow$ Die einzige Nullstelle der Funktion ist $x_1 = 1$.
y-Achsenabschnitt
Hauptkapitel: $y$-Achsenabschnitt berechnen
Der $y$-Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle $x=0$.
Wir berechnen also $f(0)$:
$$ f({\color{red}0}) = {\color{red}0} \cdot \ln ({\color{red}0}) $$
Vorsicht!
Die Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{+}$.
Aus diesem Grund gibt es keinen $y$-Achsenabschnitt!
Grenzwerte
Hauptkapitel: Grenzwerte
Verhalten im Unendlichen
Für sehr große Werte strebt die Funktion gegen + unendlich
:
$$ \lim_{x\to \infty}\left(x \cdot \ln x\right) = \infty $$
Bei Annäherung an den Rand der Definitionsmenge strebt die Funktion gegen Null:
$$ \lim_{x\to 0} \left(x \cdot \ln x\right) = 0 $$
Symmetrie
Hauptkapitel: Symmetrieverhalten
Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse
$$ f(-x) = f(x) $$
Punktsymmetrie zum Ursprung
$$ f(-x) = -f(x) $$
Wir setzen $-x$ in die Funktion
$$ f(x) = x \cdot \ln x $$
ein und erhalten:
$$ f({\color{red}-x}) = {\color{red}-x} \cdot \ln ({\color{red}-x}) $$
Danach analysieren wir das Ergebnis:
$$ -x \cdot \ln (-x) \neq f(x) $$
$$ -x \cdot \ln (-x) \neq -f(x) $$
$\Rightarrow$ Die Funktion ist weder zur $y$-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.
Extrempunkte
Hauptkapitel: Extremwerte berechnen
Für einen Hochpunkt gilt:$f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) < 0$
Für einen Tiefpunkt gilt:$f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) > 0$
1) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen
1.1) Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen
$$ \ln x + 1 = 0 $$
1.2) Gleichung lösen
$$ \begin{align*} \ln x + 1 &= 0 &&|\, -1 \\[5px] \ln x &= -1 \end{align*} $$
Möchte man eine Logarithmusfunktion nach $x$ auflösen, muss man wissen, dass gilt
$$ \ln x = a \qquad \rightarrow \qquad x = e^{a} $$
Für unsere Aufgabe bedeutet das
$$ \ln x = -1 \qquad \rightarrow \qquad x = e^{-1} = \frac{1}{e} $$
Die Nullstelle der 1. Ableitung ist $x_1 = \frac{1}{e}$.
2) Nullstelle der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen
Nun setzen wir den berechneten Wert in die 2. Ableitung
$$ f''(x) = \frac{1}{x} $$
ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden:
$$ f''\left({\color{red}\frac{1}{e}}\right) = \frac{1}{{\color{red}\frac{1}{e}}} = e > 0 $$
Wir wissen jetzt, dass an der Stelle $x = \frac{1}{e}$ ein Tiefpunkt ist.
3) $\boldsymbol{y}$-Koordinate des Extrempunktes berechnen
Zu guter Letzt müssen wir noch den $y$-Wert des Punktes berechnen.
Dazu setzen wir $x_1 = \frac{1}{e}$ in die ursprüngliche (!) Funktion
$$ f(x) = x \cdot \ln x $$
ein und erhalten:
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_1}) &= f\left( {\color{red}\frac{1}{e}}\right) \\[5px] &= {\color{red}\frac{1}{e}} \cdot \ln \left({\color{red}\frac{1}{e}}\right) \\[5px] &= \frac{1}{e} \cdot \left(\ln 1 - \ln e\right) \qquad \qquad \leftarrow \text{Logarithmusgesetz anwenden!} \\[5px] &= {\color{blue}-\frac{1}{e}} \\[5px] &\approx -0{,}37 \end{align*} $$
Wir halten fest:
Tiefpunkt $T({\color{red}\frac{1}{e}}|{\color{blue}-\frac{1}{e}})$
Monotonieverhalten
Hauptkapitel: Monotonieverhalten
Die Funktion $f$ ist streng monoton zunehmend, wenn $f'(x) > 0$ gilt.
Die Funktion $f$ ist streng monoton abnehmend, wenn $f'(x) < 0$ gilt.
Das Monotonieverhalten lässt sich leicht aus den eben berechneten Extremwerten und den Grenzwertbetrachtungen folgern:
$$ \begin{array}{c|cc} &\left]0;\frac{1}{e}\right[ &\left]\frac{1}{e};\infty\right[\\ \hline f'(x) & - & +\\ & \text{s. m. fallend} & \text{s. m. steigend} \end{array} $$
- Im 1. Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, weil die Funktion bis zum Tiefpunkt fällt.
- Im 2. Intervall ist die Funktion streng monoton steigend, weil die Funktion ab dem Tiefpunkt wieder steigt.
Krümmung
Hauptkapitel: Krümmungsverhalten
Der Graph ist linksgekrümmt, wenn $f''(x) > 0$ gilt.
Der Graph ist rechtsgekrümmt, wenn $f''(x) < 0$ gilt.
Wann ist die 2. Ableitung größer Null?
$$ \frac{1}{x} > 0 $$
Die Lösung der Bruchungleichung ist
$$ x > 0 $$
$\Rightarrow$ Für $x > 0$ ist der Graph linksgekrümmt.
Anmerkung
Im Bereich $x \leq 0$ ist die Funktion nicht definiert.
Der Graph ist also an keiner Stelle rechtsgekrümmt.
Wendepunkt und Wendetangente
Hauptkapitel: Wendepunkt und Wendetangente
Für einen Wendepunkt gilt:$f''(x_0) = 0$ und $f'''(x_0) \neq 0$
1) Nullstellen der 2. Ableitung berechnen
1.1) Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen
$$ \frac{1}{x} = 0 $$
1.2) Gleichung lösen
Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich Null ist.
Da der Zähler immer $1$ ist und deshalb nie Null werden kann, hat die die 2. Ableitung keine Nullstelle.
Folglich gibt es weder einen Wendepunkt noch eine Wendetangente.
Wertebereich
Hauptkapitel: Wertebereich bestimmen
Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:Welche
$y$-Werte kann die Funktion annehmen?
Der Wertebereich geht in diesem Fall vom Tiefpunkt ($y$-Wert!) bis + unendlich
.
Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: $\mathbb{W}_f = \left[-\frac{1}{e}; +\infty\right[$
Graph
Hauptkapitel: Graph zeichnen
Wertetabelle
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 & 2{,}5 & 3 \\ \hline f(x) & -0{,}35 & 0 & 0{,}61 & 1{,}39 & 2{,}29 & 3{,}30 \end{array} $$
