ln-Funktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die ln-Funktion ist.

Bestandteile 

Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.

Funktionsgleichung 

Die ln-Funktion (auch: Natürliche Logarithmusfunktion) gehört zu den Logarithmusfunktionen.

Die ln-Funktion ist eine Logarithmusfunktion zur Basis $e$. Es gilt: $\log_{e}x = \ln(x)$.

Bei $e$ handelt es sich um die Eulersche Zahl, die folgenden Wert annimmt:

$$ e = 2{,}718182\dots $$

Definitionsmenge 

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.

In Logarithmusfunktionen dürfen wir grundsätzlich nur positive reellen Zahlen einsetzen:

Begründung: Der Logarithmus ist nur für einen positiven Numerus definiert.

Wertemenge 

Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.

Logarithmusfunktionen können grundsätzlich alle reellen Zahlen annehmen:

Graph 

Um den Graphen der ln-Funktion sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst mithilfe des Taschenrechners einige Funktionswerte und tragen diese dann in eine Wertetabelle ein. Beachte, dass in deinem Taschenrechner $\ln$ in der Regel eingespeichert ist!

$$ f(0{,}1) = \ln(0{,}1) = -2{,}302\ldots \approx -2{,}3 $$

$$ f(0{,}2) = \ln(0{,}2) = -1{,}609\ldots \approx -1{,}61 $$

$$ f(0{,}3) = \ln(0{,}3) = -1{,}203\ldots \approx -1{,}2 $$

$$ f(0{,}4) = \ln(0{,}4) = -0{,}916\ldots \approx -0{,}92 $$

$$ f(0{,}5) = \ln(0{,}5) = -0{,}693\ldots \approx -0{,}69 $$

$$ f(1) = \ln(1) = 0 $$

$$ f(1{,}5) = \ln(1{,}5) = 0{,}405\ldots \approx 0{,}41 $$

$$ f(2) = \ln(2) = 0{,}693\ldots \approx 0{,}69 $$

$$ f(3) = \ln(3) = 1{,}098\ldots \approx 1{,}1 $$

$$ f(7) = \ln(7) = 1{,}945\ldots \approx 1{,}95 $$

Wir haben die Funktionswerte auf zwei Nachkommastellen gerundet. Diese Genauigkeit reicht zum Zeichnen des Graphen der ln-Funktion normalerweise völlig aus.

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 & 3 & 7\\ \hline \text{y} & -2{,}3 & -1{,}61 & -1{,}2 & -0{,}92 & -0{,}69 & 0 & 0{,}41 & 0{,}69 & 1{,}1 & 1{,}95 \\ \end{array} $$

Eigenschaften 

In der obigen Abbildung können wir einige interessante Eigenschaften beobachten:

1. Der Graph der ln-Funktion verläuft rechts der $y$-Achse.
   $\Rightarrow$ Die Definitionsmenge der ln-Funktion ist $\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}$.
2. Der Graph der ln-Funktion kommt der $y$-Achse beliebig nahe.
   $\Rightarrow$ Die $y$-Achse ist senkrechte Asymptote der Logarithmuskurve.
3. Der Graph der ln-Funktion schneidet die $x$-Achse im Punkt $(1|0)$.
   (Laut einem Logarithmusgesetz gilt nämlich: $\ln(1) = 0$.)
   $\Rightarrow$ Die Nullstelle der ln-Funktion ist $x = 1$.
4. Der Graph der ln-Funktion schneidet die $y$-Achse nicht.
   $\Rightarrow$ Die ln-Funktion hat keinen $y$-Achsenabschnitt!
5. Der Graph der ln-Funktion ist streng monoton steigend.
   $\Rightarrow$ Je größer $x$, desto größer $y$!

Wenn du bereits die e-Funktion kennst, ist dir vielleicht Folgendes aufgefallen: Die e-Funktion besitzt genau die umgekehrten Eigenschaften wie die ln-Funktion. Warum das so ist? Ganz einfach: Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion.

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften