Funktionsgleichung bestimmen (Quadratische Funktionen)
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion bestimmt.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Quadratische Funktionen
Einordnung
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$
heißt quadratische Funktion.
Neben der allgemeinen Form gibt es noch eine weitere Form, die uns hier beschäftigen wird:
Scheitelpunktform
$$ f(x) = a(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e} $$
Aus der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt leicht ablesen: $S({\color{red}d}|{\color{blue}e})$.
In manchen Aufgaben ist die Funktionsgleichung gesucht. In Abhängigkeit von den in der Aufgabenstellung gegebenen Informationen können wir folgende vier Fälle unterscheiden:
- 3 Punkte gegeben
- Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt gegeben
- Punkte und Zusatzinformationen gegeben
- Graph der Funktion gegeben
3 Punkte gegeben
Punkte nacheinander in allgemeine Form einsetzen
Lineares Gleichungssystem lösen
Funktionsgleichung aufstellen
zu 2)
Hauptkapitel: Lineare Gleichungssysteme
Nur wenn das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt, können wir anschließend die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion aufstellen.
Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn zwei Punkte identisch sind.
Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die drei Punkte nicht auf einer Parabel liegen.
Gegeben sind die Punkte $P_1(-1|{-4})$, $P_2(1|4)$ und $P_3(2{,}5|{-0{,}5})$.
Punkte nacheinander in allgemeine Form einsetzen
Wir setzen die Punkte $P_1$, $P_2$ und $P_3$ nacheinander in die allgemeine Form
$f(x) = ax^2 + bx +c$ (Zur Erinnerung: $y = f(x)$)
ein, wodurch wir ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen erhalten:
$$ \begin{array}{llrclclcl} P_1({\color{red}-1}|{\color{blue}-4}): &I & {\color{blue}-4} & = & a\cdot ({\color{red}-1})^2 & + & b\cdot ({\color{red}-1}) & + & c \\ P_2({\color{red}1}|{\color{blue}4}): &II & {\color{blue}4} & = & a\cdot {\color{red}1}^2 & + & b\cdot {\color{red}1} & + & c \\ P_3({\color{red}2{,}5}|{\color{blue}-0{,}5}): &III & {\color{blue}-0{,}5} & = & a\cdot {\color{red}2{,}5}^2 & + & b\cdot {\color{red}2{,}5} & + & c \end{array} $$
Durch Zusammenrechnen erhalten wir
$$ \begin{array}{lrcrcrcl} I & a & - & b & + & c & = & -4 \\ II & a & + & b & + & c & = & \phantom{-}4 \\ III & 6{,}25a & + & 2{,}5 b & + & c & = & -0{,}5 \end{array} $$
Lineares Gleichungssystem lösen
Die Lösungen des Gleichungssystems sind $a = -2$, $b = 4$ und $c = 2$.
Funktionsgleichung aufstellen
Jetzt setzen wir die berechneten Werte für $a$, $b$ und $c$ in die allgemeine Form
$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$
ein und erhalten
$$ f(x) = -2x^2 + 4x + 2 $$
Dabei handelt es sich um die gesuchte Funktionsgleichung der quadratischen Funktion.
Graphische Darstellung
Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt gegeben
Scheitelpunktform mithilfe des Scheitels aufstellen
Punkt in Scheitelpunktform einsetzen
Gleichung nach dem Parameter $\boldsymbol{a}$ auflösen
Funktionsgleichung aufstellen
zu 1)
Manchmal ist der Scheitelpunkt nur indirekt gegeben.
Die Parabel ist um 4 nach rechts und 3 nach oben verschoben.
$\Rightarrow$ Der Scheitelpunkt liegt bei $(4|3)$.
zu 4)
Soll das Ergebnis in allgemeiner Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ angegeben werden, muss man die Scheitelpunktform lediglich ausmultiplizieren. Ist das jedoch nicht extra verlangt, ist die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform ein vollkommen korrektes Ergebnis.
Gegeben ist der Scheitelpunkt $S(1|4)$ und der Punkt $P(2{,}5|{-0{,}5})$.
Scheitelpunktform mithilfe des Scheitels aufstellen
Im ersten Schritt setzen wir $S({\color{red}1}|{\color{blue}4})$ in die Scheitelpunktform
$f(x) = a(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e}$ (Zur Erinnerung: $S({\color{red}d}|{\color{blue}e})$)
ein und erhalten
$$ f(x) = a(x-{\color{red}1})^2+{\color{blue}4} $$
Punkt in Scheitelpunktform einsetzen
Jetzt setzen wir den Punkt $P({\color{red}2{,}5}|{\color{blue}-0{,}5})$ in die Scheitelform
$f(x) = a(x-1)^2+4$ (Zur Erinnerung: $y = f(x)$)
ein und erhalten
$$ {\color{blue}-0{,}5} = a({\color{red}2{,}5}-1)^2+4 $$
Gleichung nach dem Parameter $\boldsymbol{a}$ auflösen
$$ \begin{align*} -0{,}5 &= a(2{,}5-1)^2 + 4 \\[5px] -0{,}5 &= a(1{,}5)^2 + 4 \\[5px] -0{,}5 &= 2{,}25a + 4 &&|\, {\color{red}-2{,}25a} \\[5px] -0{,}5 {\color{red}\: - \: 2{,}25a} &= 2{,}25a {\color{red}\: - \: 2{,}25a} + 4 \\[5px] -0{,}5 -2{,}25a &= 4 &&|\, {\color{orange}+0{,}5} \\[5px] -0{,}5 {\color{orange}\: + \: 0{,}5} -2{,}25a &= 4 {\color{orange} \: + \: 0{,}5} \\[5px] -2{,}25a &= 4{,}5 &&|\, :({\color{red}-2{,}25}) \\[5px] \frac{-2{,}25a}{{\color{red}-2{,}25}} &= \frac{4{,}5}{{\color{red}-2{,}25}} \\[5px] a &= -2 \end{align*} $$
Funktionsgleichung aufstellen
Wenn wir $S({\color{red}1}|{\color{blue}4})$ und $a = {\color{orange}-2}$ in die Scheitelpunktform
$$ f(x) = {\color{orange}a}(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e} $$
einsetzen, erhalten wir als Ergebnis
$$ f(x) = {\color{orange}-2}(x-{\color{red}1})^2+{\color{blue}4} $$
Damit sind wir am Ziel. Die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion ist bestimmt.
Graphische Darstellung
Punkte und Zusatzinformationen gegeben
In vielen Aufgabenstellungen sind Informationen, die uns bei dem Aufstellen der Funktionsgleichung helfen, im Text versteckt
:
Nimmt nur positive Werte an
$\Rightarrow$ Parabel verläuft immer über der $x$-Achse$\Longrightarrow$ Parabel ist nach oben geöffnet ($a > 0$)$\Longrightarrow$ $y$-Koordinate des Scheitels größer $0$
Nimmt nur negative Werte an
$\Rightarrow$ Parabel verläuft immer unter der $x$-Achse$\Longrightarrow$ Parabel ist nach unten geöffnet ($a < 0$)$\Longrightarrow$ $y$-Koordinate des Scheitels kleiner $0$
Doppelte Nullstelle
Hat eine Parabel eine doppelte Nullstelle, dann ist diese der Scheitelpunkt.$\Rightarrow$ Der Scheitelpunkt liegt auf der $x$-Achse ($y$-Koordinate = $0$)
Gegebene Punkte besitzen dieselbe $y$-Koordinate$\Rightarrow$ Der Scheitel liegt bezüglich der $x$-Koordinate genau zwischen den beiden Punkten
(Stichwort: Symmetrie von Parabeln)
Gesucht ist eine Parabel mit doppelter Nullstelle, die durch die Punkte $P_1(2|1)$ und $P_2(4|1)$ verläuft.
Aus der Angabe lassen sich folgende Informationen herauslesen:
Doppelte Nullstelle
$\Rightarrow$Der Scheitelpunkt liegt auf der$x$-Achse ($y_s = 0$)Gegebene Punkte besitzen dieselbe
$y$-Koordinate$\Rightarrow$Der Scheitel liegt bezüglich der$x$-Koordinate genau zwischen den beiden Punkten.
Die$x$-Koordinate des Scheitelpunktes ist demnach$3$.
(Begründung:$x_s = \frac{1}{2} \cdot (2 + 4) = 3$.)
Letztlich können wir also aus der Aufgabenstellung den Scheitelpunkt $S(3|0)$ herauslesen.
Nun gibt es zwei Möglichkeiten, die Funktionsgleichung der Parabel zu bestimmen:
- Mithilfe der drei Punkte
$S$,$P_1$und$P_2$ein lineares Gleichungssystem aufstellen, um$a$,$b$und$c$zu berechnen $S$und$P_1$(oder$P_2$) in die Scheitelpunktform einsetzen, um den Parameter$a$zu berechnen
Beide Verfahren wurde bereits in den vorherigen Abschnitt ausführlich erklärt!
Wenn man die Wahl zwischen Verfahren 1 und Verfahren 2 hat, sollte man sich für Verfahren 2 entscheiden, da kein Gleichungssystem gelöst werden muss und man sich so eine Menge Zeit spart. In vielen Aufgaben bietet sich aber sowieso nur eines der beiden Verfahren an.
Lösungs mit Verfahren 2
Scheitelpunktform mithilfe des Scheitels $S({\color{red}3}|{\color{blue}0})$ aufstellen
$$ f(x) = a(x-{\color{red}3})^2+{\color{blue}0} $$
Punkt $P_1({\color{red}2}|{\color{blue}1})$ in Scheitelpunktform einsetzen
$$ {\color{blue}1} = a({\color{red}2}-3)^2+0 $$
Gleichung nach dem Parameter $a$ auflösen
$$ a = 1 $$
Funktionsgleichung aufstellen
$$ \begin{align*} f(x) &= 1 \cdot (x-3)^2 + 0 \\[5px] &= (x-3)^2 \end{align*} $$
Graphische Darstellung
Graph der Funktion gegeben
Ist der Graph einer quadratischen Funktion (= Parabel) gegeben, kann man die Funktionsgleichung auf folgende Arten bestimmen:
- Drei beliebige Punkte ablesen, danach Verfahren 1 (Lineares Gleichungssystem) anwenden
- Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt ablesen, danach Verfahren 2 (Scheitelpunktform) anwenden
- Funktionsgleichung direkt ablesen
Die ersten beiden Verfahren wurden bereits in den vorherigen Abschnitt ausführlich dargestellt.
Funktionsgleichung direkt ablesen
Scheitelpunkt $\boldsymbol{S}$ ablesen
Parameter $\boldsymbol{a}$ ablesen
$\boldsymbol{S}$ und $\boldsymbol{a}$ in Scheitelpunktform einsetzen
zu 2)
Der Parameter $a$ lässt sich ablesen, indem man
- vom Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts geht und
- abliest, wie weit man nach oben (
$\Rightarrow$$a$ist positiv) oder nach unten ($\Rightarrow$$a$ist negativ) gehen muss, bis man wieder auf dem Graphen ist.
Scheitelpunkt $\boldsymbol{S}$ ablesen
Parameter $\boldsymbol{a}$ ablesen
Geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so muss man drei Schritte nach oben gehen, bis man wieder auf dem Graphen ist.
Folglich gilt: $a = 3$
$\boldsymbol{S}$ und $\boldsymbol{a}$ in Scheitelpunktform einsetzen
Wenn wir $S({\color{red}2}|{\color{blue}1})$ und $a = {\color{orange}3}$ in die Scheitelpunktform
$$ f(x) = {\color{orange}a}(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e} $$
einsetzen, erhalten wir als Ergebnis
$$ f(x) = {\color{orange}3}(x-{\color{red}2})^2+{\color{blue}1} $$
oder ausmultipliziert
$$ f(x) = 3x^2 - 12x + 13 $$
