Punktprobe (Quadratische Funktionen)
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man eine Punktprobe bei quadratischen Funktionen durchführt.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Quadratische Funktionen
Einordnung
Wir wollen wissen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer quadratischen Funktion liegt.
Ist der Graph einer quadratischen Funktion gegeben, ist die Sache ziemlich einfach:
Wir erkennen, dass der Punkt $\text{P}_2$
(im Gegensatz zum Punkt $\text{P}_1$)
auf der Parabel liegt.
Schwieriger wird es, wenn wir die Fragestellung durch Rechnung lösen wollen.
Bei der Punktprobe wird rechnerisch entschieden, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt.
Anleitung
Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen
Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist
zu 2)
Ist die Gleichung erfüllt (z. B. $5 = 5$), liegt der Punkt auf der Parabel.
Ist die Gleichung nicht erfüllt (z. B. $5 = 7$), liegt der Punkt nicht auf der Parabel.
Beispiele
Überprüfe, ob der Punkt $\text{P}_1({\color{red}-3}|{\color{blue}-5})$ auf dem Graphen der quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung ${\color{blue}y} = 0{,}5{\color{red}x}^2 - 3$ liegt.
Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen
Wir setzen für $x$ die $x$-Koordinate und für $y$ die $y$-Koordinate des Punktes ein:
$$ {\color{blue}-5} = 0{,}5 \cdot ({\color{red}-3})^2 - 3 $$
Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist
$$ -5 = 1{,}5 $$
Die Gleichung ist nicht erfüllt, weshalb $\text{P}_1$ nicht auf der Parabel liegt.
Überprüfe, ob der Punkt $\text{P}_2({\color{red}4}|{\color{blue}5})$ auf dem Graphen der quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung ${\color{blue}y} = 0{,}5{\color{red}x}^2 - 3$ liegt.
Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen
Wir setzen für $x$ die $x$-Koordinate und für $y$ die $y$-Koordinate des Punktes ein:
$$ {\color{blue}5} = 0{,}5 \cdot {\color{red}4}^2 - 3 $$
Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist
$$ 5 = 5 $$
Die Gleichung ist erfüllt, weshalb $\text{P}_2$ auf der Parabel liegt.
Fehlende Koordinate eines Punktes auf der Parabel berechnen
In manchen Aufgabenstellungen ist die Gleichung einer Parabel $y = ax^2 + bx + c$ und eine Koordinate, also entweder die $x$- oder die $y$-Koordinate eines Punktes gegeben. Die fehlende Koordinate soll dann so bestimmt werden, dass der Punkt auf der Parabel liegt.
y-Koordinate gesucht
$\boldsymbol{x}$ in Gleichung einsetzen
Zusammenrechnen
Gegeben ist die Gleichung einer Parabel: $y = 2x^2 + 3x - 2$.
Bestimme die fehlende Koordinate des Punktes $P({\color{red}1}|?)$, so dass $P$ auf der Parabel liegt.
$\boldsymbol{x}$ in Gleichung einsetzen
$$ y = 2 \cdot {\color{red}1}^2 + 3 \cdot {\color{red}1} - 2 $$
Zusammenrechnen
$$ {\fcolorbox{blue}{}{$y = {\color{blue}3}$}} $$
$\Rightarrow$ Der Punkt $P({\color{red}1}|{\color{blue}3})$ liegt auf der Parabel $y = 2x^2 + 3x - 2$.
x-Koordinate gesucht
$\boldsymbol{y}$ in Gleichung einsetzen
Quadratische Gleichung lösen
Gegeben ist die Gleichung einer Parabel: $y = 2x^2 + 3x - 2$.
Bestimme die fehlende Koordinate des Punktes $P(?|{\color{blue}3})$, so dass $P$ auf der Parabel liegt.
$\boldsymbol{y}$ in Gleichung einsetzen
$$ {\color{blue}3} = 2x^2 + 3x - 2 $$
Quadratische Gleichung lösen
Wir bringen die quadratische Gleichung zunächst in ihre allgemeine Form
$$ 2x^2 + 3x - 5 = 0 $$
Dann lösen wir die Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel und erhalten als Lösungen
$$ {\fcolorbox{red}{}{$x_1 = {\color{red}1}$}} $$
$$ {\fcolorbox{red}{}{$x_2 = {\color{red}-2{,}5}$}} $$
$\Rightarrow$ Die Punkte $P_1({\color{red}1}|{\color{blue}3})$ und $P_2({\color{red}-2{,}5}|{\color{blue}3})$ liegen auf der Parabel.
