Scheitelpunktform
In diesem Kapitel besprechen wir die Scheitelpunktform.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Quadratische Funktionen
Einordnung
Der Scheitelpunkt ist der tiefste bzw. höchste Punkt einer Parabel.
Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Funktion.
Statt vom tiefsten Punkt spricht man auch vom Minimum der Funktion.
Ist die Parabel nach unten geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Funktion.
Statt vom höchsten Punkt spricht man auch vom Maximum der Funktion.
Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion.
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist $f(x) = ax^2 + bx +c$.
Definition
Unter der Scheitelpunktform (kurz: Scheitelform) versteht man eine bestimmte Form einer quadratischen Gleichung, aus der man den Scheitelpunkt direkt ablesen kann:
$$ f(x) = a(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e} \quad \Leftrightarrow \quad S({\color{red}d}|{\color{blue}e}) $$
Scheitelpunktform berechnen
Für die Umformung einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form in ihre Scheitelpunktform sind folgende Schritte notwendig:
Koeffizient von $\boldsymbol{x^2}$ aus $\boldsymbol{x^2}$ und $\boldsymbol{x}$ ausklammern
Quadratische Ergänzung
Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
Binomische Formel auf Klammer anwenden
zu 2)
Hauptkapitel: Quadratische Ergänzung
Ist ein Term in der Form
$$ f(x) = x^2 + px $$
gegeben, so lautet die Formel für die quadratische Ergänzung
$$ f(x) = x^2 + px +\left(\frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x+ \frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2 $$
Gegeben sei die quadratische Funktion
$$ f(x) = 3x^2 + 6x + 7 $$
Berechne die Scheitelpunktform.
Koeffizient von $\boldsymbol{x^2}$ aus $\boldsymbol{x^2}$ und $\boldsymbol{x}$ ausklammern
$$ \phantom{f(x)} = 3 \cdot (x^2 + 2x) + 7 $$
Quadratische Ergänzung
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2\right) + 7 \\[5px] &= 3 \cdot (x^2 + 2x {\color{blue}\:+\:1} {\color{blue}\:-\:1}) + 7 \end{align*} $$
Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= {\color{red}3} \cdot \left(x^2 + 2x + 1 {\color{red}\:-\:1}\right) + 7 \\[5px] &= 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 + {\color{red}3} \cdot ({\color{red}-1}) \\[5px] &= 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 - 3 \end{align*} $$
Binomische Formel auf Klammer anwenden
In diesem Fall wenden wir die 1. Binomische Formel an.
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + 1\right) + 4 \\[5px] &= 3 \cdot \left(x+\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 + 4 \\[5px] &= 3 \cdot (x+1)^2 + 4 \end{align*} $$
Gegeben sei die quadratische Funktion
$$ f(x) = -2x^2 + 8x - 5 $$
Berechne die Scheitelpunktform.
Koeffizient von $\boldsymbol{x^2}$ aus $\boldsymbol{x^2}$ und $\boldsymbol{x}$ ausklammern
$$ \phantom{f(x)} = -2 \cdot (x^2 - 4x) - 5 $$
Quadratische Ergänzung
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= -2 \cdot \left(x^2 {\color{red}\:-\:4}x + \left(\frac{{\color{red}-4}}{2}\right)^2 - \left(\frac{{\color{red}-4}}{2}\right)^2\right) - 5 \\[5px] &= -2 \cdot (x^2 - 4x {\color{blue}\:+\:4} {\color{blue}\:-\:4}) - 5 \end{align*} $$
Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= {\color{red}-2} \cdot \left(x^2 - 4x + 4 {\color{red}\:-\:4}\right) - 5 \\[5px] &= -2 \cdot \left(x^2 - 4x + 4\right) - 5 {\color{red}\:-\:2} \cdot ({\color{red}-4}) \\[5px] &= -2 \cdot \left(x^2 - 4x + 4\right) - 5 + 8 \\[5px] &= -2 \cdot \left(x^2 - 4x + 4\right) + 3 \end{align*} $$
Binomische Formel auf Klammer anwenden
In diesem Fall wenden wir die 2. Binomische Formel an.
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= -2 \cdot \left(x^2 {\color{red}\:-\:4}x + 4\right) + 3 \\[5px] &= -2 \cdot \left(x+\frac{{\color{red}-4}}{2}\right)^2 + 3 \\[5px] &= -2 \cdot (x-2)^2 + 3 \end{align*} $$
Allgemeine Form berechnen
Für die Umformung einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform in ihre allgemeine Form sind folgende Schritte notwendig:
Binomische Formel anwenden
Ausmultiplizieren
Zusammenfassen
Gegeben sei die quadratische Funktion
$$ f(x) = 3(x+1)^2 + 4 $$
Berechne die allgemeine Form.
Binomische Formel anwenden
In diesem Fall wenden wir die 1. Binomische Formel an.
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= 3{\color{red}(x+1)^2} + 4 \\[5px] &= 3({\color{red}x^2+2x+1}) + 4 \end{align*} $$
Ausmultiplizieren
$$ \phantom{f(x)} = 3x^2 + 6x + 3 + 4 $$
Zusammenfassen
$$ \phantom{f(x)} = 3x^2 + 6x + 7 $$
Gegeben sei die quadratische Funktion
$$ f(x) = -2(x-2)^2 + 3 $$
Berechne die allgemeine Form.
Binomische Formel anwenden
In diesem Fall wenden wir die 2. Binomische Formel an.
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= -2{\color{red}(x-2)^2} + 3 \\[5px] &= -2({\color{red}x^2-4x+4}) + 3 \end{align*} $$
Ausmultiplizieren
$$ \phantom{f(x)} = -2x^2 + 8x -8 + 3 $$
Zusammenfassen
$$ \phantom{f(x)} = -2x^2 + 8x - 5 $$
